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数学知识1.2

一、简述 本文章主要介绍有关约数的基础算法。 二、约数 约数，又称因数。整数 \(a\) 除以整数 \(b\)(\(b\) ≠ 0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 \(a\) 能被 \(b\) 整除，或 \(b\) 能整除 \(a\)。\(a\) 称为 \(b\) 的倍数，\(b\) 称为 \(a\) 的约数。 三、试除法求约数 设一个

洛谷 P1734 最大约数和（dp）

https://www.luogu.com.cn/problem/P1734 题目描述 选取和不超过 S 的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。 输入格式 输入一个正整数 S。 输出格式 输出最大的约数之和。 输入输出样例 输入 #1复制 11 输出 #1复制 9 说明/提示 【样例说明】 取数字 4 和

使用java 求完数

完数是什么 如果一个数恰好等于它的真因子之和，则称该数为“完全数” [2]  。各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number），又称完美数或完备数。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6

看起来很高级的符号

rt，其实是用来方便自己学莫比乌斯反演的......像 \(\sum\) 这种东西干嘛要加，反正是给我自己看看的...... \(\varphi(n)\)：\(\sum\limits_{i=1}^{n-1}\left[gcd(n, i) = 1\right]\) \(\tau(n)\)：\(n\) 的约数个数。 \(\sigma(n)\)：\(n\) 的约数之和。 \(d_k(n)\)：约数 \(k\) 次方和。特

算法竞赛进阶指南 0x65 负环与差分约数

这里与最短路密切相关 可以使用spfa，利用spfa的原理（cnt数组），如果发现一个点是通过了超过n-1条边更新而来，那么就说明存在负环 AcWing361. 观光奶牛 给定一张 L 个点、P 条边的有向图，每个点都有一个权值 f[i]，每条边都有一个权值 t[i]。 求图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“

CF1712赛后口胡(E,F)

纯口胡，没看题解，有错请见谅。 E 题意是让你求满足 \(lcm(i,j,k)\geq i+j+k\) 的三元组个数。 我们通常都有一个直观感觉，lcm应该是各数之积级别的，换句话说， 不满足 \(lcm(i,j,k)\geq i+j+k\) 的三元组个数应该不太多，考虑用总的个数减去不合法的个数。 \(lcm(i,j,k)< i+j+k\) ,因为k是

约数相关：约数个数

N=(p1c1)*(p2c2)...(pk^ck) N2=(p1(c1**2)) * (p2^ (c22) )...(pk^ (ck2) ) 约数个数 f[N]=(c1+1)(c2+1)...(cn+1) 拍打牛头https://www.acwing.com/problem/content/1293/ 这里没有用到公式 只是将求约数转化成为求倍数 #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostrea

数论

前言 本蒟蒻在写初赛题后听讲评时，听得一脸懵，发现对数论无所了解，于是疯狂地补，此博客在有生之年不会完结（吧），希望 \(hzx\) 不会又说我。 符号 整除符号：\(x \mid y\) 取模符号：\(x \bmod y\) 互质符号：\(x \perp y\) 最大公约数：\(\gcd(x,y)\) 最小公倍数：\(\operatorname{lcm}(x,y)\) 求和

欧拉函数

欧拉函数 1.利用欧拉函数 1.欧拉函数是用来求1-N之中与N互质的数的个数，如6有1，5两个小于他的互质数互质数指两束数最大公约数是1) 欧拉函数 $$\varphi=N*(1-p_{1}))*(1-p_{2})*......(1-p_{n})$$ 这些p是n的约数前面在约数相关的文章中讲过，一个数可以分为 $$N=p_{1}^{x_{1}}*p_{2}

1008 立方数 素数筛求约数 stl黑科技 二分 数论

分析   首度。我开vector，开map 都是tle，改成数组和cnt 计数就对了。 //-------------------------代码---------------------------- #define int ll const int N = 1e5+10; int n,m,primes[N],cnt; bool st[N]; int qmi(int a,int b) { int res = 1; while(b) {

试除法求因数（约数）

试除法求约数 给定 \(n\) 个正整数 \(a\_i\)，对于每个整数 \(a\_i\)，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。 输入格式 第一行包含整数 \(n\)。 接下来 \(n\) 行，每行包含一个整数 \(a\_i\)。 输出格式 输出共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个整数 \(a\_i\) 的所有约数。

NC218398 小G的约数

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/218398 数论分块 在1~x 内，因数为 i 的数有 x/i 个，则约数和就是 x/i * i。 则G(n)就是 \[\sum_{i=1}^n i\times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \] 点击查看代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int G(

『学习笔记』 质数约数 「数论」

素数与约数 1.算数基本定理 任何一个大于1的正整数都能唯一分解成有限个质数的乘积 写作： \[ n=p_1^{c1}p_2^{c2}······p_m^{cm} \]可以直接写作： \[ \prod_{i=1}^mp_i^{ci} \]\(pi\) 都是质数且满足 $ p1<p2<······<pm$ , \(ci\) 都是正整数。 这玩意。。。好像没啥

数论基础

最大公因数（gcd） 辗转相除法 运算速度： O(n） 计算公式：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 代码： int gcd(int a,int b) { int c=a%b; while(c!=0) { a=b; b=c; c=a%b; } return b; } 最小公倍数（lcm） 最小公倍数可以通过最大公约数求：最小公倍数 =

CF1512G（数学，筛法，约数和）

CF1512G（数学，筛法，约数和） 题意 求约数和为 \(c\) 的最小数字 \(n\) 思路 板子题，原题因为数据范围太小甚至能暴力（ 因为约数和可以写成 \(\prod _{i = 1}^n(1+p_i+p_i^2+...+p_i^{q_i})\) 的形式，所以往下搜就行了。 中间要特判存在一个大质因子（\(p_i > \sqrt {n}\) ）的情况。 被询问的

递归小结

递归小结 最大奇约数： 题目： 定义函数f(x)表示x的最大奇约数，这里x表示正整数。例如，f(20) = 5，因为20的约数从小到大分别有：1, 2, 4, 5, 10, 20，其中最大的奇约数为5。 给出正整数N，求f(1)+f(2)+…+f(N) 初看此题 盲目以为可直接用一函数求出从1 ~ n每一个数的最大奇约数 然后求和。

2702. problem b

题目链接 2702. problem b 同215. 破译密码 对于给出的 \(n\) 个询问，每次求有多少个数对 \((x,y)\)，满足 \(a≤x≤b，c≤y≤d\)，且 \(\text{gcd}(x,y) = k\)，\(\text{gcd}(x,y)\) 函数为 \(x\) 和 \(y\) 的最大公约数。 输入格式 第一行一个整数 \(n\)。 接下来 \(n\) 行每行五个整数，分

AcWing 97. 约数之和

题目传送门 一、理论知识 算术基本定理 \[\large N=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot ... \cdot p_k^{\alpha_k} \]约数个数定理 \[\large f(N)=\prod_{i=1}^{k}(a_i+1)= (\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1) \]证明:因为\(\large p_1^{\alpha_1}\)的约数有\(\large

python 最大公公约数与最小公倍数

先判断 a 和 b 的大小，如果 a<b，那么进行对调并取余 当 r 为 0 时的 b 就是这两个数的最大公约数 将最大公约数的值赋给变量 d 因为这个时候a和b的值都已经改变 所以我们可以进行重新赋值 再用a和b的积整除最大公约数，得到的就是最小公倍数了 tips（这个比较麻烦 但是容易懂一点，我还要

P1851 好朋友 （AC）

注意： 1.a != b 2.1也是因数 #include <stdio.h> int main() { int n, a, b, s = 1, j = 1; scanf("%d", &n); a = n - 1; while (s != a) { a++; j = 1; s = 1; for (int i = 2; i < a; i++) {

P1851 好朋友（Todo）

好朋友 题目背景 小可可和所有其他同学的手腕上都戴有一个射频识别序列号码牌，这样老师就可以方便的计算出他们的人数。很多同学都有一个“好朋友” 。如果 \(A\) 的序列号的约数之和恰好等于 \(B\) 的序列号，那么 \(A\) 的好朋友就是 \(B\)。在这里，一个数的约数不包括这个数本身。

筛法

筛法求约数和 设 \(f(i)\) 为 \(i\) 的约数和， \(g(i)\) 为 \(i\) 的最小的质因子的 \(p^0+p^1+p^2+....+p^k\) 线性筛的时候筛到自己最小的质数，如果自己已经是这个质数的倍数，那么 \[g(i\times p)=g(i)\times p+1\\ f(i\times p)=f(i)/g(i)*g(i\times p) \] 否则 \(f(i\times

10. 最大公约数&最小公倍数&加法原理&乘法原理&排列组合

目录10. 最大公约数&最小公倍数&加法原理&乘法原理&排列组合约数&倍数先自己思考吧！ 10. 最大公约数&最小公倍数&加法原理&乘法原理&排列组合 约数&倍数 约数：又称因子，当 a/b=q...r（r=0）时，称 b 为 a 的约数/因子。 公约数：两个数的公共约数，如 12 的约数有：1 2 3 4 6 12 24 的约数有：1 2 3

试除法判断约数 和 试除法判断质数

约数和质数是我们在认识数学问题中经常遇到的两个概念，所以如何判断他们肯定也是我们需要去考虑！   首先我们看一些判断质数： 因为我们可以知道质数的概念指的是这个数只能被1和自身整除，所以我们枚举从2~sqrt（x）的范围内的数，是因为如果不是质数的话是一一对应的，如果在2~sqrt（x）这个范围

97. 约数之和

题目链接 97. 约数之和 假设现在有两个自然数 \(A\) 和 \(B\)，\(S\) 是 \(A^B\) 的所有约数之和。 请你求出 \(S\mod9901\) 的值是多少。 输入格式 在一行中输入用空格隔开的两个整数 \(A\) 和 \(B\)。 输出格式 输出一个整数，代表 \(S\mod9901\) 的值。 数据范围 \(0≤A,B≤5×10^7