数学知识1.2

2022-09-15 00:04:03 作者：互联网

一、简述

本文章主要介绍有关约数的基础算法。

二、约数

约数，又称因数。整数 \(a\) 除以整数 \(b\)(\(b\) ≠ 0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说 \(a\) 能被 \(b\) 整除，或 \(b\) 能整除 \(a\)。\(a\) 称为 \(b\) 的倍数，\(b\) 称为 \(a\) 的约数。

三、试除法求约数

设一个数 \(n\)，则我们只需从1遍历到 \(n\)，把所有的整除 \(n\) 的数就是 \(n\) 的约数。
参考试除法判断质数，如果对于一个数 \(n\)，若存在 \(d\) | \(n\)(\(d\) 整除 \(n\))，则 \(\frac{d}{n}\) | \(n\)，基于此，我们可以对上面的算法进行优化，使得时间复杂度降到 O(\(\sqrt{n}\))。

模板题AcWing869.试除法求约数

题目描述

给定 \(n\) 个正整数 \(a{^{}_i}\)，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一个正整数 \(a{^{}_i}\)。

输出格式

共 \(n\) 行，其中第 \(i\) 行输出第 \(i\) 个整数 \(a{^{}_i}\) 的所有约数。

数据范围

1≤ \(n\) ≤100，2≤ \(a{^{}_i}\) ≤2¹⁰。

输入样例

2
6
8

输出样例

1 2 3 6
1 2 4 8

解题思路

试除法，并且对于平方数此类的数，我们要对它的约数进行去重，这里我们可以采用 set，同时 set 也可以实现自动排序，无需我们再对存放约数的数组进行排序。

C++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;

set<int> get_divisors(int x)
{
    set<int> res;
    for(int i = 1; i <= x / i; i ++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            res.insert(i);
            res.insert(x / i);
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        set<int> t = get_divisors(x);
        for(auto v : t)
            cout << v << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

四、约数个数

算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积。
N = \(P{^{a^1}_1}\)\(P{^{a^2}_2}\)\(P{^{a^3}_3}\)⋅⋅⋅\(P{^{a^n}_n}\)，这里 \(P{^{}_1}\) < \(P{^{}_2}\) < ⋅⋅⋅ < \(P{^{}_n}\) 且均为质数，其指数均是正整数。
约数个数 = (\(a{^{}_1}\) + 1) * (\(a{^{}_2}\) + 1) * ... * (\(a{^{}_n}\) + 1)。

模板题AcWing870. 约数个数

题目描述

给定 \(n\) 个正整数 \(a{^{}_i}\)，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一个正整数 \(a{^{}_i}\)。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10⁹+7 取模。

数据范围

1≤ \(n\) ≤100，2≤ \(a{^{}_i}\) ≤2×10⁹。

输入样例

输出样例

解题思路

试除法，因为我们要利用对应质因数的指数，我们使用哈希表存储。

C++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 110, MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

int n;
unordered_map<int, int> primes;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int j = 2; j <= x / j; j ++)
        {
            while(x % j == 0)
            {
                x /= j;
                primes[j] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;
    }
    LL res = 1;
    for(auto [k, v] : primes)
    {
        res = (res * (v + 1)) % MOD;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

五、约数之和

约数之和的依据也是算术基本定理。
约数之和 = (\(P{^{0}_1}\) + \(P{^{2}_1}\) + ... + \(P{^{a^1}_1}\)) * (\(P{^{0}_2}\) + \(P{^{2}_2}\) + ... + \(P{^{a^1}_2}\)) * ... * (\(P{^{0}_n}\) + \(P{^{2}_n}\) + ... + \(P{^{a^1}_n}\))。

模板题AcWing871.约数之和

题目描述

给定 \(n\) 个正整数 \(a{^{}_i}\)，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10⁹+7 取模。

输入格式

共一行，包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一个整数 \(a{^{}_i}\)。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 10⁹+7 取模。

数据范围

1≤ \(n\) ≤10⁶。

输入样例

输出样例

解题思路

参考前面试除法计算约数个数，我们利用哈希表存储质因数及其指数之后，对质因数 \(P{^{}_i}\) 及其指数 \(a{^{}_i}\) 计算 \(P{^{0}_i}\) + \(P{^{2}_i}\) + ... + \(P{^{a^i}_i}\)，将所有的结果累乘即可。

C++代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int N = 110, MOD = 1e9 + 7;
typedef long long LL;

int n;
unordered_map<int, int> primes;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        for(int j = 2; j <= x / j; j ++)
        {
            while(x % j == 0)
            {
                x /= j;
                primes[j] ++;
            }
        }
        if(x > 1) primes[x] ++;
    }
    LL res = 1;
    for(auto [k, v] : primes)
    {
        LL t = 1;
        int p = k, a = v;
        while(a --)
        {
            t = (t * p + 1) % MOD;
        }
        res = (res * t) % MOD;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

六、最大公约数

计算两个数的最大公约数我们常使用的算法是辗转相除法(欧几里得算法)。
核心思想：如果 \(d\) | \(a\)，\(d\) | \(b\)，则 \(d\) | \(x*a+y*b\)，这里 \(x\) 和 \(y\) 都是整数。
欧几里得算法的表示：(\(a\)，\(b\)) = (\(b\)，\(a\) \(mod\) \(b\))，\(mod\) 是求余操作，等号表示左右的最大公约数相等。
证明：首先 \(a\) \(mod\) \(b\) = \(a\) - \(\frac{a}{b} * b\) = \(a\) - \(c * b\)，这里 \(\frac{a}{b}\) 是整除，设最大公约数是 \(d\)。

左->右：\(d\) | \(a\)，\(d\) | \(b\)，则 \(d\) | \(b\)，\(d\) | \(a-c*b\)，等号成立。
右->左：\(d\) | \(b\)，\(d\) | \(a-c*b\)，则\(d\) | \(a-c*b+c*b\) 也就是 \(d\) | \(a\)且\(d\) | \(b\)，等号成立。
证毕。

模板题AcWing872.最大公约数

题目描述

给定 \(n\) 对正整数 \(a{^{}_i}\)，\(b{^{}_i}\)，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

共一行，包含整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行一对正整数 \(a{^{}_i}\)，\(b{^{}_i}\)。

输出格式

输出共 \(n\) 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1≤ \(n\) ≤ 10⁵，
1≤ \(a{^{}_i}\)，\(b{^{}_i}\) ≤ 2×10⁹。

输入样例

2
3 6
4 6

输出样例

3
2

解题思路

辗转相除法。

C++代码

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    if(a % b == 0) return b;
    return gcd(b, a % b);
}

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    while(n --)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        printf("%d\n", gcd(a, b));
    }
    return 0;
}

标签：约数,输出,正整数,1.2,int,整数,数学知识,include
来源： https://www.cnblogs.com/Cocoicobird/p/16695044.html