前言

本蒟蒻在写初赛题后听讲评时，听得一脸懵，发现对数论无所了解，于是疯狂地补，此博客在有生之年不会完结（吧），希望 \(hzx\) 不会又说我。

符号

整除符号：\(x \mid y\)

取模符号：\(x \bmod y\)

互质符号：\(x \perp y\)

最大公约数：\(\gcd(x,y)\)

最小公倍数：\(\operatorname{lcm}(x,y)\)

求和符号：\(\sum\)

求积符号：\(\prod\)

阶乘：\(n!\)（即 \(\prod^{n}_{i=1}i\)）

注：\(0!=1\)

向下取整：\(\lfloor x \rfloor\)

向上取整：\(\lceil x \rceil\)

数论基础概念

整除

整除的定义

设 \(a,b \in \mathbf{Z},a \ne 0\)。如果 \(\exists q \in \mathbf{Z}\)，使得 \(b=aq\)，那么就说 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a \mid b\)，且称 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，\(a\) 是 \(b\) 的约数（因数）。

注：\(b\) 不被 \(a\) 整除记作 \(a \nmid b\)。

整除的性质

• \(a \mid b \iff -a \mid b \iff -b \mid a \iff |a| \mid |b|\)

• \(a \mid b \land b \mid c \implies a \mid c\)

• \(a \mid b \land a \mid c \iff \forall x,y \in \mathbf{Z},a \mid (xb+yc)\)

  证明：设 \(b=an,c=am\)，那么 \(xb+yc=xan+yam=a(xn+ym)\)。

• \(a \mid b \land b \mid a \implies b= \pm a\)

• 设 \(m \ne 0\)，那么 \(a \mid b \iff ma \mid mb\)

• 设 \(b \ne 0\)，那么 \(a \mid b \implies |a| \leq |b|\)

• 设 \(a \ne 0,b=qa+c\)，那么 \(a \mid b \iff a \mid c\)

约数和倍数

通过对倍数的定义，可得 \(0\) 是所有非 \(0\) 整数的倍数。（\(0\) 不可以做被除数）

对于任何整数 \(b \ne 0\)，对于 \(b\) 的约数只有有限个。

显然约数（显然因数）：对于整数 \(b \ne 0\)，\(\pm 1\)、\(\pm b\) 是 \(b\) 的显然约数。当 \(b= \pm 1\) 时，\(b\) 只有两个显然约数。

对于整数 \(b \ne 0\)，\(b\) 的其他约数为真约数（真因数、非显然约数、非显然因数）。

约数的性质

• 设整数 \(b \ne 0\)，当 \(d\) 遍历 \(b\) 的全体约数时，\(b \over d\) 也遍历 \(b\) 的全体约数。

• 设整数 \(b > 0\)，则当 \(d\) 遍历 \(b\) 的全体正约数时，\(b \over d\) 也遍历 \(b\) 的全体正约数。

带余数除法

余数的定义

设 \(a,b\) 为两个给定的正整数，\(a \ne 0\)。设 \(d\) 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 \(q,r\)，满足 \(b=qa+r(d \le r < |a|+d)\)。

无论整数 \(d\) 取何值，\(r\) 统称为余数。均有 \(a \mid b\) 等价于 \(a \mid r\)。

一般情况下，\(d\) 取 \(0\)，此时等式 \(b=qa+r(0 \le r < |a|)\) 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 \(r\) 称为最小非负余数。

余数的另外两种常见取法

绝对最小余数：\(d\) 取 \(|a|\) 的一半的相反数。即 \(b=qa+r(- \frac{|a|}{2} \le r < |a|- \frac{|a|}{2} )\)。

最小正余数：\(d\) 取 \(1\)。即 \(b=qa+r(1 \le r < |a|+1)\)。

带余数除法的余数只有非负最小余数。如果没有特殊证明，余数总是指最小非负余数。

余数的性质

• 任一整数被正整数 \(a\) 除后，余数一定是且仅是 \(0\) 到 \((a-1)\) 这 \(a\) 个数中的一个。

• 相邻的 \(a\) 个整数被正整数 \(a\) 除后，恰好取到上述 \(a\) 个余数。特别的，一定有且仅有一个数被 \(a\) 整除。

最大公约数与最小公倍数

最大公约数（\(\operatorname{gcd}\)）定义

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数。

那么最大公约数，顾名思义，就是这组数的公约数中最大的一个。

求最大公约数（欧几里得算法，也称辗转相除法）

设 \(\forall a,b \in \mathbf{Z}(a > b)\)。

可以整除的情况：如果 \(b\) 是 \(a\) 的约数，那么 \(b\) 就是二者的最大公约数。

不可以整除的情况：\(a=bq+r\)（带余除法）,通过证明可得，\(\operatorname{gcd}(a,b)= \operatorname{gcd}(b,a \bmod b)\)。

证明如下：

设 \(a=bq+r(r=a \bmod b)\)，设 \(d \mid a,d \mid b\)（即 \(d\) 为 \(a\ b\) 的公约数）,则 \(r=a-bq,\frac{r}{d}= \frac{a}{d}- \frac{b}{d}q\)。

由上面的式子可知 \(r \over d\) 为整数，那么可得 \(d \mid r\)，所以 \(d\) 也会是 \(a \bmod b\) 的公约数。

可得 \(a,b\) 与 \(a,a \bmod b\) 的公约数相同，那么二者的最大公约数也相同。

即 \(\operatorname{gcd}(a,b)= \operatorname{gcd}(a,a \bmod b)\)。

递归代码易得：

int gcd(int a,int b) {
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

最小公倍数（\(\operatorname{lcm}\)）定义

一组整数的公倍数，是指同时是这组数中的每一个数的公倍数。\(0\) 是任意一组整数的公倍数。

顾名思义，一组整数的最小公倍数，是指所有正公倍数中最小的一个。

求最小公倍数

设 \(a=p_{1}^{k_{a_1}}p_{2}^{k{a_2}}…p_{n}^{k_{a_n}},b=p_{1}^{k_{b_1}}p_{2}^{k{b_2}}…p_{n}^{k_{a_n}}\)。

对于 \(a\) 和 \(b\)，二者的最大公约数是 \(p_{1}^{\max (k_{a_1},k_{b_1})}p_{2}^{\max (k_{a_2},k_{b_2})}…p_{n}^{\max (k_{a_n},k_{b_n})}\)

最小公倍数是 \(p_{1}^{\min (k_{a_1},k_{b_1})}p_{2}^{\min (k_{a_2},k_{b_2})}…p_{n}^{\min (k_{a_n},k_{b_n})}\)

由于 \(k_a+k_b= \max (k_a,k_b)+ \min (k_a,k_b)\)

所以 \(\operatorname{gcd}(a,b) \times \operatorname{lcm}(a,b)=a \times b\)，即 \(\operatorname{lcm}(a,b)=a \times b \div \operatorname{gcd}(a,b)\)。

int gcd(int a,int b) {
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int lcm(int a,int b) {
	return a*b*1.0/gcd(a,b);
}

互素

两个整数互素，即 \(\operatorname{gcd}(a,b)=1\)。

多个整数互素，即 \(\operatorname{gcd}(a_1,…,a_n)\)。

多个整数互素，不一定任意两两互素。

素数和合数

素数与合数的定义

设 \(p \ne 0,\pm 1\)。如果除了 \(p\) 的显然约数外 \(p\) 没有其他约数，那么称 \(p\) 为素数（不可约数）。

反之，若 \(p \ne 0,\pm 1\) 且 \(p\) 不是素数，那么称 \(p\) 为合数。

若整数的因数是素数，则该素数成为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的性质

• 大于 \(1\) 的整数 \(a\) 是合数，等价于 \(a\) 可以表示为整数 \(d\) 和 \(e\) \((1 < d,e< a)\) 的乘积。

• 如果素数 \(p\) 有大于 \(1\) 的约数 \(d\)，那么 \(d=p\)。

• 大于 \(1\) 的整数 \(a\) 一定可以表示为素数的乘积。

• 对于合数 \(a\)，一定存在素数 \(p \le \sqrt{a}\) 使得 \(p \mid a\)。

• 素数有无穷多个。

• 所有大于 \(3\) 的素数都可以表示为 \(6n+1\) 的形式。

算术基本定理（唯一分解定理）

算术基本引理

设 \(p\) 是素数，\(p \mid a_1a_2\)，那么 \(p \mid a_1\) 和 \(p \mid a_2\) 至少有一个成立。

算法基本定理

设正整数 \(a\)，那么必有表示（素数与合数的性质）：

\[a=p_1p_2p_3…p_n \]

其中 \(p_j(1 \le j \le n)\) 是素数。

将上述表示中相同的素数合并可得标准素因数分解式：

\[a=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}…p_n^{k_n} \]

算术基本定理与算法基本引理是等价的。

标签：约数,gcd,数论,mid,整数,余数,operatorname
来源： https://www.cnblogs.com/Mr-Lin-081122/p/16537598.html