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递归小结

2022-07-01 19:04:40 作者：互联网

递归小结

最大奇约数：

题目：

定义函数f(x)表示x的最大奇约数，这里x表示正整数。例如，f(20) = 5，因为20的约数从小到大分别有：1, 2, 4, 5, 10, 20，其中最大的奇约数为5。

给出正整数N，求f(1)+f(2)+…+f(N)

初看此题盲目以为可直接用一函数求出从1 ~ n每一个数的最大奇约数然后求和。思路乍看上去没问题，但10^9的数据规模实在恐怖因此另辟蹊径
思路如下：
对于每一个奇数，其最大奇约数就是其本身。假若n为奇数，可求出f（1）+……+f（n）所有奇数项之和
即x^2 / 4。
对剩下的偶数进行处理。
对于每个偶数，其最大奇约数等于f(n / 2)，因此，只需再处理s（n/2)
得到递归式：

\[S（n） = n^2 / 4 + S（n/2) \]
结束

集合的划分：

题目：

设S是一个具有n个元素的集合，S{a1，a2,….,an}，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，…,Sk，且满足：

Si≠∅

Si∩Sj=∅ (1<=I,j<=k i≠j)

S1∪S2∪S3∪…Sk=S

则称S1，S2，…,Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1,a2,…,an放入k个（0<k<=n<30）无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1,a2,…,an放入k个无标号盒子中去划分数S（n,k）。

n个元素，划成k份，那么对于每个元素a，即有两种决策方法
1.在a处划分一个新集合
2.不在a处划分集合，将a并入后续集合中
共能划分k个集合，则设当前还能划分h个集合，还剩余l个元素
由其上推导可得，f(l,h) = f(l - 1,h - 1) + h * f(l - 1,h)

结束

分形图系列：

三道小题：

1.分形图

题目：

题目描述

分形（Fractal）通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。例如一棵蕨类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘述。图展示了4种类型的分形图。

avatar

魔法世界的科学家由此提出分形宇宙论，即认为宇宙本质上是一个粒子。构成宇宙的无数个粒子里面又会有其他小宇宙。

例如：一个尺度的宇宙表示为：

两个尺度宇宙表示为

复制X 　X

  X

X 　X

如果用B(n－1) 表示n－１尺度的宇宙，则递归定义为：

复制
B(n－1)        B(n－1)

        B(n－1)

B(n－1)        B(n－1)

输入格式

输入有多组数据，每组一个整数n（n≤7），表示宇宙的尺度。

输出格式

每组数据以字母“Ｘ”绘出分形图，每组数据以一个“－”表示结束。

2.2的幂次方分解

题目：

任何一个正整数都可以用 22 的幂次方表示。例如 137=2⁷⁺²3+2^0137=27+23+20。

同时约定方次用括号来表示，即 a^b可表示为 a(b)。

由此可知，137可表示为 2(7)+2(3)+2(0)

进一步：

7= 2²⁺²⁺²0，并且 3=2+2^0。

所以最后 137 可表示为 2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)。

又如 1315=2^10 +2^8 +2^5 +2+1315=210+28+25+2+1

所以 1315 最后可表示为 2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)。

输入格式

一行一个正整数 n。

思路：

首先，容易想到，对于每一个正整数，都可以将其拆分为一个二次幂和另一个数（可以为0）的和。

那么，便可以先将一个数这样拆分，接着处理剩下的那一部分和拆出来的幂（次数也可以进行这样的拆分）

完美的递归模型！

但需要特别注意括号的输出
```
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
void change(int m){
	int x = m,cnt = 0;
	while(x != 0){
		x /= 2;
		cnt++;
	}
	cnt--;//特别注意要将cnt减一，诸如此类的计数，都会多算一次，不过可以用do while语句来进行修改，以减少此类错误发生
	x = m - pow(2,cnt);
	if(cnt == 0){
		cout << "2(0)";
	}
	else if(cnt == 1){
		cout << "2";
	}
	if(cnt > 1){
		cout << "2(";
		change(cnt);
		cout << ")";
	}
	if(x > 0){
		cout << "+";
		change(x);
	}
}
int main(){
	cin >> n;
	change(n);
	return 0;
}
```
3.对称

题目：

题目描述

FJ非常喜欢对称。他在一块NM的土地上进行一种叫“放奶牛”的活动，首先他找到一个在这块NM这块土地上的一块最中心的点（所谓最中心，要求这个点不仅要是行的最中心点，同时也要是列上的最中心），在这个点上放上奶牛，然后这个点会把NM的这块土地分成完全相等的4块，然后FJ会对这4块继续做以上的行动。如果不存在这样的中心点，或者区域已成为11则停止。

比如如下的例子，N=7，M=15，于是FJ在第4行，第8列放了一个奶牛。此后，分出了4块37的更小的土地。对于37的小土地，它会继续进行如图以下的分解。直到不能继续分解为止。
```
...............    ...............    .......|.......    .C.|.C.|.C.|.C.
...............    ...............    ...C...|...C...    ---C---|---C---
...............    ...............    .......|.......    .C.|.C.|.C.|.C.
............... -> .......C....... -> -------C------- -> -------C-------
...............    ...............    .......|.......    .C.|.C.|.C.|.C.
...............    ...............    ...C...|...C...    ---C---|---C---
...............    ...............    .......|.......    .C.|.C.|.C.|.C.       
```
最后一共放置了21头奶牛。对于给出的N*M的地图，要求输出最后一共能在这个地图上放置多少只奶牛。

输入格式

第一行两个数，N,M

输出格式

最终放置的奶牛数。

当时做的时候确实是糊涂了。对于拆下来的每一块建立坐标系，如若其长或宽为偶数，那么直接返回，依次递归进行

不用记录地图！！！

斐波那契数列：

第一个月一对兔子（刚出生），每对兔子两个月后便可以生一对兔子，恰好一雌一雄。六个月后丧失生育能力，八个月后死亡,求第n个月时有多少兔子？

构建递推式即可

在递归中，如何记录经过的数据？

如题：

题目描述

已知 n 个整数 x1,x2,……,xn以及 11个整数 k（k<n）。从 n 个整数中任选 k 个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 n=4，k=3，4 个整数分别为 3,7,12,19 时，可得全部的组合与它们的和为：

3+7+12=22

3+7+19=29

7+12+19=38

3+12+19=34

现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：3+7+19=29

输入格式

第一行两个空格隔开的整数 n,k（1≤n≤20，k<n）。

第二行 n个整数，分别为 x1,x2,……,xn（数据范围)。

输出格式

输出一个整数，表示种类数。

如何记录这种情况是否处理过呢？

首先可以想到，这三个数的和可能是相同的，因此可以抓住这点来存储每一种状态。但显而易见的是，在x != y != z != l != m != n的情况下， x + y + z

仍有可能等于l + m + n。

那么我们就可以将每个数以幂的形式存储起来，拉大差距，即x^a + y^a + z^{a，a越大，x}a + y^a + z^a = l ^a + m^a + n^a的概率也就越低了，也就可以达到存储状态的目的。

但这种存储方法有一种缺点就是会占用大量的内存，时间复杂度会出奇的高（当让也可以通过其他方式来存储状态，例如状态压缩）

也可以用动态数组或bool数组等方式进行记录，暂且不提

另一种独辟蹊径的方式就是，既然可能会重复，那么为何不试着使计算不重复呢？

如下代码

#include<cstdio>
#include<cmath>//引入头文件 
using namespace std;
int n,k,a[21],s=0,ans=0;//定义全局变量，方便写函数 
bool f[21];//判断该数有没有被选过，用bool型变量 
int ss(int x)//定义判断素数的函数 
{
    if(x==1||x==0)return 0;//考虑特殊情况（虽然和为1或0不太可能，但还是要预防一下极品数据） 
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i+=1)//sqrt为平方根函数，需要调用cmath库，sqrt(x)用处详解请见上
    //从2开始循环是因为任何一个数mod(就是%)1都等于0 
        if(x%i==0)//一旦发现该数能mod尽除1和它本身的数，立即返回0 
            return 0;
    return 1;//若一直运行到i==sart(x)时都没有退出，则该数为素数，自动返回1 
}
int xs(int x,int y)//该函数是本程序中最关键的部分，认真看哦 
{//x为已经选了几个数，y为选第几个数 
    for(int i=y;i<=n;i+=1)//从y~n循环是为了避免重复的出现，例如1234中，选3个，已经选过123

（持续更新中ing）

最后

那么对于递归，其要素又在哪里呢？

首先，将一个小规模的问题替换题目，再用一个规模稍大的来替换，从中发现规律，即子问题构型！

通过子问题构型，即可确定递归式

接下来，确定递归的边界条件，一个递归的大致框架就好了。

但同样重要的，还要确定形参的意义。好的形参能方便思考，简化代码，因此得慎重考虑。

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来源： https://www.cnblogs.com/CZ-9/p/16435664.html

递归小结

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最大奇约数：

题目：

集合的划分：

题目：

分形图系列：

题目描述

输入格式

输出格式

输入格式

思路：

题目描述

输入格式

输出格式

斐波那契数列：

在递归中，如何记录经过的数据？

题目描述

输入格式

输出格式

最后