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【杂谈】初赛知识点

参考资料 CSP初赛知识点梳理 | 蔡勒公式及其推导 1. 基础数论 - 计算日期可以用可爱的蔡勒公式，首先给出定义： \(c\) 是已经经过的世纪数，\(y\) 是世纪内的年份，\(m\) 是月份，\(d\) 是日期数，\(w\) 是星期。比如：2022.9.14 中 \(c=20,y=22,m=9,d=14\)，而 \(w\) 就是我们要求的。于是蔡

[数学基础] 10 数论分块

数论分块简介数论分块通常被用来以\(O(\sqrt n)\)的复杂度快速计算形如\(\sum \limits_{i=1}^n f(i)g(\lfloor \frac n i \rfloor)\)的含有除法向下取整的和式，它的核心思想是将\(\lfloor \frac n i \rfloor\)相同的数打包同时计算，主要利用了Fubini定理。证明 1. 证明时间复杂度

P2398 GCD SUM

P2398 GCD SUM 题目大意 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j)\) 分析这个到是蛮好想的，我们推理一下。 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j) = \sum_{k=1}^n k*\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor} \sum_{y=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right

P2261 [CQOI2007]余数求和

P2261 [CQOI2007]余数求和分析求的式子为\(ans = \sum_{i=1}^{n} k\%i\)，我们首先需要知道的是\(a\%b=a-b*\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor\)，则式子就变成了。 \[ans = n*k -\sum_{i=1}^{n}i*\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \]然后\(\left \lfloor \frac{k}

[数学记录]CF896D Nephren Runs a Cinema

题意：给定 \(n=x+y+z\)，求满足以下要求的长度为 \(n\) 的序列的数目：序列由 \(x\) 个 \(1\)，\(y\) 个 \(-1\)，\(z\) 个 \(0\) 组成，序列任意前缀和非负，和在 \([l,r]\) 之间。考虑确定 \(z\) 和序列和的方案数。看做卡特兰数类似折线图考虑。则在不能过线的前提下要到 \((x+1,y-x)\)。

hzx的CSP-J模拟赛题解

T1 按题意模拟即可，注意不用考虑闰年。 T2 \(30\%\) 的数据：使用 \(Floyd\) 求出图的全源最短路，时间复杂度 \(O(n^3)\)。 \(50\%\) 的数据：对图上每个点使用 \(Dijkstra\) 求出最短路，时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\)，需要较优秀的常数才能通过。常数十分优秀的 \(Johnson\) 也可获得此部

P8443 题解

前言题目传送门！更好的阅读体验？普及组月赛第一题。别的题解语言有点高深，我补篇题解。思路显然，\(\lfloor \dfrac{l}{x}\rfloor, \lfloor \dfrac{l+1}{x}\rfloor, \cdots, \lfloor \dfrac{r}{x}\rfloor\) 是连续的整数。而且，显然有 \(\operatorname{gcd}(c, c+1) = 1\)。换句

数论相关

词客有灵应识我，霸才无主独怜君。主要记录一些不太熟悉的式子，以提高熟练度。一个定理 \[\forall a,b,c\in \mathbb{Z},\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c}}\right\rfloor \]证明：$$\dfrac{a}{b} = \left\l

Codeforces Round #809 (Div. 2)

VP的。这场 C 是真的恶心，还好一发过了要不然罚时就更起飞了。 D2 考虑枚举 \([l,r]\)，判断能否使得所有 \(\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor\) 都在 \([l, r]\) 范围内。对于每个 \(a_i,\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor\) 只有 \(\sqrt{n}\) 种值，所以这个判断可以用一个桶实现。注

[hdu7200]Yet Another Easy Function Sum Problem

对原式反演，问题即求$\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}H(id)\right)^{2}$ 设置阈值$B$，并对$d$和$B$的大小关系分类讨论—— 第一部分对于$d\le B$，记$F_{1}(m,t)=\sum_{i=1}^{m}H(it)$，则原式即$\sum_{d=1}^{B}\mu(d)F_{1}^{2}(\lfloor\frac{n}{d}

万能欧几里得算法学习笔记

万能欧几里得算法基本描述对于一条直线 \(\dfrac {px+r}{q}\)，满足 \(p>0,q>0,r\in[0,q-1]\)，求解有关 \(\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor,x\) 的一些函数。考虑在坐标系上考虑这条直线，从 \((0,0)\) 开始走。定义当直线穿过一条形如 \(y=h(h\in\Z)\) 的横线（下文会称其为横线）时进

数论分块学习笔记

概念我们考虑这样一个问题：求 \(\sum_{i=1}^{k} \lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor\) 我们以 \(n=7,k=7\) 为例子，先画出 \(f(x) = \dfrac{7}{x} \ (1 \leq x \leq 7)\) 的图像因为我们的取值是向下取整的，我们描出所有可能的取值注意到所有的点按照取值可以分成若干段我们可以一次

Lucas定理学习笔记

概念当 \(p\) 是一个质数时，有 \[\dbinom{n}{m} \bmod p \equiv \dbinom{\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \dfrac{m}{p} \rfloor} \times \dbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \pmod{p} \]实现引理：考虑 \[\dbinom{p}{n} \bmod p \]的取值，注意到展开之后其为如下形式 \[\dbino

【杜教筛小记】

虽然挺简单的，但用的不多的话，挺容易忘。问题模型：给定一个数论函数\(f\)，定义\(S_f(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 要求在低于线性的时间复杂度求出\(S_f(n)\) 基本原理：构造一个数论函数\(g\)，令\(h=f*g\) 可以得到 \(S_f(n)=\frac{1}{g(1)}(S_h(n)-\sum_{i=2}^ng(i)S_f(\lfloor \frac{n}{

【学习笔记】数论入门基础

积性函数与完全积性函数 \(e(n) = [n=1]\) \(I(n) = 1\) \(id(n) = n\) 迪利克雷卷积记 \(h = f *g\) 表示 \(f,g\) 的迪利克雷卷积为 \(h\) \[h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]迪利克雷卷积有交换律、结合律、分配律： \[\begin{aligned} f* g &= g *f \\ (f* g) *h &= f*

【模板】扩展欧几里得算法

【模板】扩展欧几里得算法 void exgcd(int a, int b, int &g, int &x, int &y) { if (!b) x = 1, y = 0, g = a; else { exgcd(b, a % b, g, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; } } 如何理解虽然不知道在推什么但是确实

数论分块

应用数论分块用于快速计算形如以下公式的和式 \[\sum_{i=1}^n f(i)g(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) \]前提是在\(O(1)\) 内计算出 \(f(r)-f(l)\) 或者已经处理出 \(f\) 的前缀和。复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) 数论分块结论对于\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)，一些连续的\(i\)的

SDSC2021 Day1

又是一年SDSC到但是我已经成为时代的眼泪啦但我翻翻去年的笔记，好像就Day1写得还行，剩下几天就很摸所以就只把Day1的笔记搬过来啦~（我才不会说临时起意搬笔记的原因是又有好题图了（当然不是））配套题单质数筛提供一种快速的分解质因数的方法：在线性筛的时候可以顺道求出每个数的最

SP1772题解

考虑把矩阵消成上三角然后求对角线的值。可以发现每一行只会消掉自己的倍数行，且系数为 \(1\)。假设第 \(n\) 行 \(n\) 列的元素是 \(f[n]\)，有： \[f[n]=n^k-\sum_{d\mid n,d\ne n}f[d] \]\[f * 1=id^k \]\[f=id^k * \mu \]考虑每个质数幂处的这玩意儿是好算的，而且是考虑答案的乘积

整除分块

解决如下问题：给定 \(n\)，求 \[\sum \limits_{i=1}^n \lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor \]考虑画出 \(\cfrac{n}{i}\) 的函数图像，并将 \(\lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor\) 相等的区间用颜色块表示出来：（取 \(n=7\)）发现虽然 \(n=7\)，但是只有 \(4\) 个带整数的块。考虑 \[\sum \limits_{i=1}^

威尔逊定理

一、定理内容当$p$为质数的时候，$(p-1)+1$可以被$p$整除，也就是$(p-1)!+1$ $\equiv 0$ $(mod$ $p$)，即$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $ 该条件为$p$为质数的充分必要条件二、证明　当p为完全平方数时：　　　当p不是完全平方数时：

扩展欧几里得

解决的问题描述：对于三个自然数$a,b,c$，求解$ax + by = c$的$(x,y)$的整数解算法解决：首先我们要判断是否存在解，对于这个这个存在整数解的充分条件是$gcd(a,b) | c$ 也就是说$c$为$gcd(a,b)$的一个倍数然后判定是否有解后，我们需要在这个基础上求一组解 $(x,y)$ ，由于 $a,b,c$

Powerful Discount Tickets（贪心，数学）

题意有\(N\)件物品，每件物品价格为\(A_i\)元。你现在有\(K\)张优惠券。对于一个价格为\(X\)的物品，如果你使用\(y\)张优惠券，则你需要花费\(\lfloor \frac{X}{2^y} \rfloor\)元。求购买所有物品需要花费多少元钱？题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc141/tasks/abc141_d 数据

AcWing 199. 余数之和

题目传送门零、参考资料总结与思考：数论分块【数学】数论分块（整除分块）一、数论分块的相关概念 “数论分块”这个名词，其实比较模糊，没有一个广泛认同的严格定义。这里讲一下我个人的理解：令\(\displaystyle f(i)=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) \(f(i)\)的值，随着\(i\)的增加而单

一句话干掉 5 个莫比乌斯反演

学校题单里总共 8 个莫比乌斯反演，结果被一句话干掉 5 个！！！标题党.jpg 见 Möbius 反演注记干掉的题目：YY的GCD，数表，DZY Loves Math，数字表格，于神之怒加强版 . 正片开始：随便一个数论函数 \(f\)，你要求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \]首先构造一个数论函数 \(g\)，使得 \(g*