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【杂谈】初赛知识点

参考资料 CSP初赛知识点梳理 | 蔡勒公式及其推导 1. 基础数论 - 计算日期 可以用可爱的蔡勒公式,首先给出定义: \(c\) 是已经经过的世纪数,\(y\) 是世纪内的年份,\(m\) 是月份,\(d\) 是日期数,\(w\) 是星期。 比如:2022.9.14 中 \(c=20,y=22,m=9,d=14\),而 \(w\) 就是我们要求的。 于是蔡

[数学基础] 10 数论分块

数论分块 简介 数论分块通常被用来以\(O(\sqrt n)\)的复杂度快速计算形如\(\sum \limits_{i=1}^n f(i)g(\lfloor \frac n i \rfloor)\)的含有除法向下取整的和式,它的核心思想是将\(\lfloor \frac n i \rfloor\)相同的数打包同时计算,主要利用了Fubini定理。 证明 1. 证明时间复杂度

P2398 GCD SUM

P2398 GCD SUM 题目大意 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j)\) 分析 这个到是蛮好想的,我们推理一下。 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j) = \sum_{k=1}^n k*\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor} \sum_{y=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right

P2261 [CQOI2007]余数求和

P2261 [CQOI2007]余数求和 分析 求的式子为\(ans = \sum_{i=1}^{n} k\%i\),我们首先需要知道的是\(a\%b=a-b*\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor\),则式子就变成了。 \[ans = n*k -\sum_{i=1}^{n}i*\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \]然后\(\left \lfloor \frac{k}

[数学记录]CF896D Nephren Runs a Cinema

题意:给定 \(n=x+y+z\),求满足以下要求的长度为 \(n\) 的序列的数目:序列由 \(x\) 个 \(1\),\(y\) 个 \(-1\),\(z\) 个 \(0\) 组成,序列任意前缀和非负,和在 \([l,r]\) 之间。 考虑确定 \(z\) 和序列和的方案数。 看做卡特兰数类似折线图考虑。则在不能过线的前提下要到 \((x+1,y-x)\)。

hzx的CSP-J模拟赛题解

T1 按题意模拟即可,注意不用考虑闰年。 T2 \(30\%\) 的数据:使用 \(Floyd\) 求出图的全源最短路,时间复杂度 \(O(n^3)\)。 \(50\%\) 的数据:对图上每个点使用 \(Dijkstra\) 求出最短路,时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\),需要较优秀的常数才能通过。常数十分优秀的 \(Johnson\) 也可获得此部

P8443 题解

前言 题目传送门! 更好的阅读体验? 普及组月赛第一题。别的题解语言有点高深,我补篇题解。 思路 显然,\(\lfloor \dfrac{l}{x}\rfloor, \lfloor \dfrac{l+1}{x}\rfloor, \cdots, \lfloor \dfrac{r}{x}\rfloor\) 是连续的整数。 而且,显然有 \(\operatorname{gcd}(c, c+1) = 1\)。 换句

数论相关

词客有灵应识我,霸才无主独怜君。 主要记录一些 不太熟悉的式子,以提高熟练度。 一个定理 \[\forall a,b,c\in \mathbb{Z},\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c}}\right\rfloor \]证明:$$\dfrac{a}{b} = \left\l

Codeforces Round #809 (Div. 2)

VP的。 这场 C 是真的恶心,还好一发过了要不然罚时就更起飞了。 D2 考虑枚举 \([l,r]\),判断能否使得所有 \(\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor\) 都在 \([l, r]\) 范围内。 对于每个 \(a_i,\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor\) 只有 \(\sqrt{n}\) 种值,所以这个判断可以用一个桶实现。 注

[hdu7200]Yet Another Easy Function Sum Problem

对原式反演,问题即求$\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}H(id)\right)^{2}$ 设置阈值$B$,并对$d$和$B$的大小关系分类讨论—— 第一部分 对于$d\le B$,记$F_{1}(m,t)=\sum_{i=1}^{m}H(it)$,则原式即$\sum_{d=1}^{B}\mu(d)F_{1}^{2}(\lfloor\frac{n}{d}

万能欧几里得算法学习笔记

万能欧几里得算法 基本描述 对于一条直线 \(\dfrac {px+r}{q}\),满足 \(p>0,q>0,r\in[0,q-1]\),求解有关 \(\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor,x\) 的一些函数。 考虑在坐标系上考虑这条直线,从 \((0,0)\) 开始走。 定义当直线穿过一条形如 \(y=h(h\in\Z)\) 的横线(下文会称其为横线)时进

数论分块学习笔记

概念 我们考虑这样一个问题:求 \(\sum_{i=1}^{k} \lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor\) 我们以 \(n=7,k=7\) 为例子,先画出 \(f(x) = \dfrac{7}{x} \ (1 \leq x \leq 7)\) 的图像 因为我们的取值是向下取整的,我们描出所有可能的取值 注意到所有的点按照取值可以分成若干段 我们可以一次

Lucas定理学习笔记

概念 当 \(p\) 是一个质数时,有 \[\dbinom{n}{m} \bmod p \equiv \dbinom{\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \dfrac{m}{p} \rfloor} \times \dbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \pmod{p} \]实现 引理: 考虑 \[\dbinom{p}{n} \bmod p \]的取值,注意到展开之后其为如下形式 \[\dbino

【杜教筛小记】

虽然挺简单的,但用的不多的话,挺容易忘。 问题模型: 给定一个数论函数\(f\),定义\(S_f(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 要求在低于线性的时间复杂度求出\(S_f(n)\) 基本原理: 构造一个数论函数\(g\),令\(h=f*g\) 可以得到 \(S_f(n)=\frac{1}{g(1)}(S_h(n)-\sum_{i=2}^ng(i)S_f(\lfloor \frac{n}{

【学习笔记】数论入门基础

积性函数与完全积性函数 \(e(n) = [n=1]\) \(I(n) = 1\) \(id(n) = n\) 迪利克雷卷积 记 \(h = f *g\) 表示 \(f,g\) 的迪利克雷卷积为 \(h\) \[h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]迪利克雷卷积有交换律、结合律、分配律: \[\begin{aligned} f* g &= g *f \\ (f* g) *h &= f*

【模板】扩展欧几里得算法

【模板】扩展欧几里得算法 void exgcd(int a, int b, int &g, int &x, int &y) { if (!b) x = 1, y = 0, g = a; else { exgcd(b, a % b, g, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; } } 如何理解 虽然不知道在推什么但是确实

数论分块

应用 数论分块用于快速计算形如以下公式的和式 \[\sum_{i=1}^n f(i)g(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) \]前提是 在\(O(1)\) 内计算出 \(f(r)-f(l)\) 或者已经处理出 \(f\) 的前缀和。 复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) 数论分块结论 对于\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\),一些连续的\(i\)的

SDSC2021 Day1

又是一年SDSC到但是我已经成为时代的眼泪啦 但我翻翻去年的笔记,好像就Day1写得还行,剩下几天就很摸 所以就只把Day1的笔记搬过来啦~(我才不会说临时起意搬笔记的原因是又有好题图了(当然不是)) 配套题单 质数筛 提供一种快速的分解质因数的方法: 在线性筛的时候可以顺道求出每个数的最

SP1772题解

考虑把矩阵消成上三角然后求对角线的值。 可以发现每一行只会消掉自己的倍数行,且系数为 \(1\)。 假设第 \(n\) 行 \(n\) 列的元素是 \(f[n]\),有: \[f[n]=n^k-\sum_{d\mid n,d\ne n}f[d] \]\[f * 1=id^k \]\[f=id^k * \mu \]考虑每个质数幂处的这玩意儿是好算的,而且是考虑答案的乘积

整除分块

解决如下问题:给定 \(n\),求 \[\sum \limits_{i=1}^n \lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor \]考虑画出 \(\cfrac{n}{i}\) 的函数图像,并将 \(\lfloor\cfrac{n}{i}\rfloor\) 相等的区间用颜色块表示出来:(取 \(n=7\)) 发现虽然 \(n=7\),但是只有 \(4\) 个带整数的块。 考虑 \[\sum \limits_{i=1}^

威尔逊定理

一、定理内容  当$p$为质数的时候,$(p-1)+1$可以被$p$整除, 也就是$(p-1)!+1$ $\equiv 0$ $(mod$ $p$),即$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $ 该条件为$p$为质数的充分必要条件 二、证明          当p为完全平方数时:             当p不是完全平方数时:            

扩展欧几里得

解决的问题描述: 对于三个自然数$a,b,c$,求解$ax + by = c$的$(x,y)$的整数解 算法解决:  首先我们要判断是否存在解,对于这个这个存在整数解的充分条件是$gcd(a,b) | c$ 也就是说$c$为$gcd(a,b)$的一个倍数 然后判定是否有解后,我们需要在这个基础上求一组解 $(x,y)$ , 由于 $a,b,c$

Powerful Discount Tickets(贪心,数学)

题意 有\(N\)件物品,每件物品价格为\(A_i\)元。 你现在有\(K\)张优惠券。对于一个价格为\(X\)的物品,如果你使用\(y\)张优惠券,则你需要花费\(\lfloor \frac{X}{2^y} \rfloor\)元。 求购买所有物品需要花费多少元钱? 题目链接:https://atcoder.jp/contests/abc141/tasks/abc141_d 数据

AcWing 199. 余数之和

题目传送门 零、参考资料 总结与思考:数论分块 【数学】数论分块(整除分块) 一、数论分块的相关概念 “数论分块”这个名词,其实比较模糊,没有一个广泛认同的严格定义。这里讲一下我个人的理解: 令\(\displaystyle f(i)=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) \(f(i)\)的值,随着\(i\)的增加而单

一句话干掉 5 个莫比乌斯反演

学校题单里总共 8 个莫比乌斯反演,结果被一句话干掉 5 个!!! 标题党.jpg 见 Möbius 反演注记 干掉的题目:YY的GCD,数表,DZY Loves Math,数字表格,于神之怒加强版 . 正片开始: 随便一个数论函数 \(f\),你要求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \]首先构造一个数论函数 \(g\),使得 \(g*