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AcWing 199. 余数之和

2022-06-18 22:00:12 作者：互联网

零、参考资料

一、数论分块的相关概念

“数论分块”这个名词，其实比较模糊，没有一个广泛认同的严格定义。这里讲一下我个人的理解：
令$\displaystyle f(i)=\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$
$f(i)$的值，随着$i$的增加而单调不增，如果我把$f(1),f(2),\dots,f(n)$从左到右排开，会发现其值呈现出“块状”，每一个“块”就是连续的一段，每个“块”中$f(i)$的值都是相同的
举个例子，$n = 5$
$f(1)=5,f(2)=2,f(3)=f(4)=f(5)=1$，一字排开，得到$5,2,1,1,1$，相同的分到一个“块”中，直观一点，写成：$[5],[2],[1,1,1]$

数论分块从直观上来讲就是这个现象

数论分块中，块的右端是个很重要的位置。比如例子$n=5$中，三个块右端的编号分别是$1,2,5$

二、关于$\displaystyle \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$的值域大小:

当$1 ≤ i ≤ ⌊ \sqrt{n} ⌋$时，$\displaystyle \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$的不同数值个数显然是不超过$\lfloor \sqrt n \rfloor$。
当$\displaystyle \lfloor \sqrt n \rfloor < i \le n$时，因为$\displaystyle 1 \le \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \le \sqrt n$，所以不同数值个数还是不超过$\lfloor \sqrt n \rfloor$。

综合上述两种情况，$\displaystyle \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$的不同数值个数严格不大于$2 \sqrt n$

三、结论一：假设某个块的$f$值为$t$，那么这个块右端的下标是$ \displaystyle \lfloor \frac{n}{t} \rfloor$

如果一个块的$f$值是$t$，对于其中的数$x$，应当满足$\displaystyle \lfloor \frac{n}{x} \rfloor=t$，即$n = t x + r ( 0 ≤ r < x )$，从这个式子中就可以看出$x$的取值是连续的一段整数。块的右端就是满足上式的最大$x$，也就是说$x\times t ≤ n$的最大$x$，那么显然$\large \displaystyle x_{max}= \lfloor \frac{n}{t} \rfloor$

四、结论2: $f(i)$的值域和块右端下标集合是相同的

比如上面那个例子，值域是$\{1,2,5\}$，块右端下标集合也是$\{1,2,5\}$

解释：

假设一个块的$f$值是$t$，右端是$x$，那么$\displaystyle \lfloor \frac{n}{t} \rfloor=x, \lfloor \frac{n}{x} \rfloor=t$

也就是说$x$和$t$一一对应，不同块的$f$值不会相同，一个$f$值也不会对应多个块，这就说明了块“右端“集合和$f$的值域值域这两个集合大小相同。

那么元素是否也是相同的呢？是的，因为假设一个元素$p$属于"块右端"集合，那么根据“块右端”的计算方法，得知某个肯定存在某个$t$使得$\displaystyle \lfloor \frac{n}{t} \rfloor=p$，也就是$f(t)=p$，也就是说$p$也属于$f$的值域集合。

因为两个集合大小相同，而且“块右端”集合中的每个元素也在值域集合中出现，所以这两个集合相等。

五、结论3: 当$x \le \lfloor \sqrt n \rfloor$时，$f(x)$的值严格单调增

六、本题解析

原式：$$\large \sum_{i=1}^{n} k \ % \ i$$

子项变形：

\[\large k \% i=k - \left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \times i \]

将子项变形代入原式：

\[\large \sum_{i=1}^{n} k \ \% \ i= n\times k - \sum_{i=1}^{n} \left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \times i \]

显然，$\large \displaystyle ⌊\frac{k}{i}⌋$ 是最棘手的，如果暴力枚举$i$,数据范围是$10^9$,肯定会$TLE$,要想办法优化。

根据前面我们准备好的知识储备，我们知道这个答案由连续 $2\sqrt{k}$ 段不同的取值组成，我们枚举下届，并利用公式计算出上界：每种取值下界 $l$ 和上界 $r$, 通过

\[\large \sum_{i=l}^{r} \left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor * i =\sum_{i=l}^{r} \left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor * i = \left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor * \sum_{i=l}^{r}i \]

即可求得每一段对答案的贡献。其中$\displaystyle \sum_{i=l}^{r}i$可以用等差数列求和公式计算:$\displaystyle \sum_{i=l}^{r}i=\frac{(l+r)*(r-l+1)}{2}$

七、算法设计

算法就很好设计了：

设 $l=1$，算出上界 $r$。计算这段的贡献

使 $l=r+1$，即跳到下一段计算贡献。

重复直到算完 $[1,n]$ 里所有段。

八、$Tips$

当 $⌊k/l⌋=0$ 的时候，显然这段以及后面（有单调性）已经没有贡献了，可以 break。
注意右端点和 $n$ 取个 $min$，因为 $>n$ 没有贡献了。

九、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
//数论分块，余数之和，本题是很多其它题的基础，需要背诵
// j(n,k)=k%1+k%2+k%3+…+k%n
LL n, k, l, r;
LL ans;
int main() {
    // 1、当k/l=0的时候，显然这段以及后面（有单调性）已经没有贡献了，可以 break。
    // 2、注意右端点和n取个min，因为>n没有贡献了。
    cin >> n >> k;
    ans = n * k;
    for (l = 1; l <= n; l = r + 1) { //枚举左端点,每次跳着走，下次的位置就是本次r的位置+1
        if (k / l == 0) break;
        r = min(k / (k / l), n); //右边界
        //等差数列求和：左到右边界内，是公差为1的等差数列，
        ans -= (k / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2; //首项+末项 乘以 项数 除以2
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

标签：lfloor,199,frac,sum,rfloor,右端,余数,displaystyle,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16389420.html

AcWing 199. 余数之和

零、参考资料

一、数论分块的相关概念

二、关于\(\displaystyle \lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)的值域大小:

三、结论一：假设某个块的\(f\)值为\(t\)，那么这个块右端的下标是$ \displaystyle \lfloor \frac{n}{t} \rfloor$

四、结论2: \(f(i)\)的值域和块右端下标集合是相同的

五、结论3: 当\(x \le \lfloor \sqrt n \rfloor\)时，\(f(x)\)的值严格单调增

六、本题解析

七、算法设计

八、\(Tips\)

九、实现代码