词客有灵应识我，霸才无主独怜君。

主要记录一些 不太熟悉的式子，以提高熟练度。

一个定理

\[\forall a,b,c\in \mathbb{Z},\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c}}\right\rfloor \]

证明：$$\dfrac{a}{b} = \left\lfloor{\dfrac{a}{b}}\right\rfloor + r(0\le r < 1)$$

\[\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{a}{b}\times\dfrac{1}{c}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{1}{c}\times\left({\left\lfloor{\dfrac{a}{b}}\right\rfloor + r}\right)}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c} + \dfrac{r}{c}}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{\left\lfloor{\dfrac{a}{b}}\right\rfloor}{c}}\right\rfloor\]

一个注意点 在最后的变形 向下取整中左边的余数加上\(\frac{r}{c}\) 一定小于1故原式成立。

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