威尔逊定理

一、定理内容

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 当$p$为质数的时候，$(p-1)+1$可以被$p$整除，

也就是$(p-1)!+1$ $\equiv 0$ $(mod$ $p$)，即$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $

该条件为$p$为质数的充分必要条件

二、证明

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　当p为完全平方数时：

      　　

 

　当p不是完全平方数时：

 

            

 三、应用

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　例一：

　　给定一个正整数$n$，求$n-1)! mod n$的值。
　　数据范围：$2<=n<=1e9$

考虑n为质数与不为质数两种情况：
    当 n 为素数时，这个就是威尔逊定理，答案为n-1；
    当n不为素数时，我们在证明威尔逊定理的充分性时，已经对它进行了一个分类：
        当n=4时，结果为 2；
        否则，可以根据 完全平方数 和 非完全平方数，均得到结果为 0。

例一思路

　例二：

　　给定$n$的值，用下面的公式求$S_n$，公式中的[ ]指的是向下取整。

　　

 

　　数据范围：$t<=1e6,1<=n<=1e6$

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　解：

　　看到$\frac{(n-1)!+1}{n}$ $-$ $\left \lfloor \frac{(n-1)!}{n} \right \rfloor }$的形式，就应该联想到威尔逊定理

　　根据$3k+7$的性质分别计算

　　当$3k+7$为质数，根据威尔逊定理得：，即$(3k+6)!+1$可以被$3k+7$整除

 

　　设$\frac{(3k+6)!+1}{3k+7} = x$，则原式为$\left\lfloor x- \left \lfoor x - \frac{1}{3k+7} \right \rfloor \right \rfloor = 1$（$\left \lfoor x - \frac{1}{3k+7} \right \rfloor = x-1$）

 　　当$3k+7$不是质数时，$k>=1$，所以$3k+7>4$，根据威尔逊定理的证明得，，即$\frac{(3k+6)!}{3k+7}$一定为整数

 　　设$\frac{(3k+6)!}{3k+7} = x$，则$\lfloor \lfoor x - \frac{1}{3k+7} \rfloor - x \rfloor = \left \floor x - x \right \rfoor = 0$

 

 

 

 

 

 

 

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