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故事新编：奈奎斯特定理和香农定理，天下第一信道武道会

几位选手来参加科举，有几种流派到了决赛。   第一位选手是神笔马良，他是码元流派，他是如此擅长画画，以至于他和别人交流都不用文字，而是把每个文字对应一幅画。用画来交流，由于他可以产生无限种画，所以码元数量突破天际，不需要考虑频率，一幅画传递的信息就突破了天际，使得数据传输率非常大

数论——费马小定理

简介： 费马小定理(\(Fermat's\) \(little\) \(theorem\))是数论中的一个重要定理，在\(1636\)年提出。 定义： 如果 \(p\) 为质数，且 \(a \bmod p \ne 0\)，则有 \(a^{p-1}\bmod p=1\) \(PS:\) 先证明一个裴蜀定理的引理。 推论：如果 \(a,b\in \mathbb Z^+\)，且 \(gcd(a,b)=1\)，则 \(0,a,2a,

Millar-Rabin 米勒罗宾算法小结 （内附费马小定理证明以及二次探测定理证明）

因为他我学了龟速乘 Millar-robin 米勒罗宾 这个小东西是用来素数判定的，且听我细细道来。 前置知识 肥妈小定理 又名费马小定理 ： 当一个数 \(x\) 不是一个质数 \(p\) 的倍数时有： \[x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]证明： 对于一个序列 \[b = \left \{1,2,3....p-1\right \} \]令 \[

[笔记] 兰道定理 Landau's Theorem

兰道定理的内容： 一个竞赛图强连通的充要条件是：把它的所有顶点按照入度d从小到大排序，对于任意\(k\in [0,n-1]\)都不满足\(\sum_{i=0}^k d_i=\binom{k+1}{2}\)。 兰道定理的证明： 引理： 一个竞赛图强连通的充要条件是对于任意\(S \subsetneq 点集V\)，都存在一个点\(u \notin S\)

信息学竞赛涉及到的必备数学知识

2021 年 4 月，全国青少年信息学奥林匹克竞赛大纲在 NOI 官网发布。为方便大家的查阅和收藏，把大纲的入门级、提高级和 NOI 级的数学部分整理了出来。 入门级数学 1.数及其运算 •【1】数的概念，算术运算（加、减、乘、除、求余） •【1】数的进制：二进制、八进制、十六进制和十进制及其转

拓展中国剩余定理 exCRT

求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, ···, n_k\) 不 两两互质） \[\left\{ \begin{matrix}x & \equiv & a_1 & (mod \ n_1)\\ x & \equiv & a_2 & (mod \ n_2)\\ \vdots\\ x & \equiv & a_k & (mod \ n_k)\end{matrix

2022.8.21

1.学习了MCS最大势算法，补充了弦图几个性质和konig定理的证明，做完了PPT。 2.继续做了2道网络流24题，几道弦图相关的题目，看了昨天的CF，D题不是很懂 3.最大流最小割定理,弦图是完美图和Tutte，平面图判定的证明还不理解或没找到，一般图的最大匹配还不懂 4.帮着做了一点计数的内容，min-max容

贝祖定理

中文名: 裴蜀定理 别名: 贝祖定理 外文名: Bézout's identity 应用学科: 数学 方程式是：丢番图方程（裴蜀方程） 对任何整数a、b和它们的最大公约数gcd(a,b)，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别

Lucas定理学习笔记

概念 当 \(p\) 是一个质数时，有 \[\dbinom{n}{m} \bmod p \equiv \dbinom{\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \dfrac{m}{p} \rfloor} \times \dbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \pmod{p} \]实现 引理： 考虑 \[\dbinom{p}{n} \bmod p \]的取值，注意到展开之后其为如下形式 \[\dbino

抽样分布定理——统计学（七）

抽样分布定理可以说是数理统计的基本定理了，因为它奠定了后面参数估计和假设检验的基础，所以掌握好这个定理以及它的证明十分有必要。这里介绍抽样分布定理以外，以及阐述它在后续内容中的重要作用。 一、抽样分布定理 *前提：都是单个总体的样本，样本的数学期望和方差都易求，以此来求总体

1018 一个小问题 扩展中国剩余定理

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15068来源：牛客网 题目描述 uu遇到了一个小问题，可是他不想答。你能替他解决这个问题吗？ 问题：给你k对a和r是否存在一个正整数x使每队a和r都满足：x mod a=r，求最小正解x或无解。 输入描述: 第一行是正整数k(k<=1

原根存在性定理的群论证明

原根存在性定理的证明 定义模\(m\)意义下满足阶为\(\varphi(m)\)的元素为\(m\)的原根，求证\(m\in\N^+\)的原根存在，当且仅当\(m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}\)，其中\(P\)为素数集。显然，如果\(m\)的原根存在，那么\(m\)的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va

数学-求组合数 III - 卢卡斯定理

c++ AcWing 887. 求组合数 III /* * 题目描述: * AcWing 887. 求组合数 III * 给定 n 组询问，每组询问给定三个整数 a,b,p，其中 p 是质数，请你输出 C(a, b) mod p 的值。 * 输入格式: * 第一行包含整数 n。 * 接下来 n 行，每行包含一组 a,b,p。 *

[模板]Lucas定理及组合数

#include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #define WR WinterRain using namespace std; const long long WR=1001000,mod=10007; long long read(){ long long s=0,w=1; char ch=getchar(); while(ch>'9'||ch<�

[模板]扩展卢卡斯定理

#include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #define WR WinterRain using namespace std; const long long WR=10010; long long n0,m0,w[WR],mod; long long a[WR],b[WR]; long long res=1; long long read(){ long

关于“矩阵的欧拉定理”

初始矩阵：\([F(1,1),1]\)。 \(\mathrm{ans}=A^{m-1}\times (B\times A^{m-1})^{n-1}\)。 直接矩阵快速幂可能因常数过大而超时。 我们能不能用欧拉定理减少幂次呢？ 首先因为 发现 \(01\) 还是 \(01\)。然后再发现 如果快速幂前发现 \(a=1\)，需要特判，因为 \(b(a^0+...+a^{\phi_p-1

《费马大定理的证明是错的→觉醒→寻找控失的智慧 02》 回复

《费马大定理的证明是错的→觉醒→寻找控失的智慧 02》    https://tieba.baidu.com/p/7927896956     我在  《谈谈 麦克斯韦方程》    https://tieba.baidu.com/p/6526448757   里说  “ 当 数学推导 已经 达到 长篇累牍 时 ， 可以 认为 这个 推导 已经 脱离 了 直观

裴蜀定理

一个听起来很高大上的定理？其实之前一直都知道有这么个东西，但却一直没用过…… \[ax+by=c\iff gcd(a,b)|c\ \ \ \ (x,y\in Z^*) \]可以推广，就是洛谷上的板子： \[\sum\limits_{i=1}^Na_ix_i=c\iff gcd(a_1,a_2\dots a_N)|c \]

威尔逊定理

一、定理内容  当$p$为质数的时候，$(p-1)+1$可以被$p$整除， 也就是$(p-1)!+1$ $\equiv 0$ $(mod$ $p$)，即$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p} $ 该条件为$p$为质数的充分必要条件 二、证明         　当p为完全平方数时：       　　   　当p不是完全平方数时：            

Abel群循环分解定理

名字是我瞎编的qwq 定理：对于任意Abel群 \((A,.)\)，其一定可以被分解为若干循环群的积 \(Z_{i_1}Z_{I_2}\ldots Z_{i_k}\)。 下记 \(O\left<x\right>\) 代表元素 \(x\)（默认在 \(A\) 中）的阶。记 \(\left<x\right>=\{x^i|i\in \mathbf Z\}\)，也即 \(x\) 生成的循环子群。 证明思路：（忽略

容斥定理

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理

拓展欧拉定理漫谈

已知数列$\left\{a_n\right\}: 3^1,3^2,3^3 \cdots$ 问第2022项个位数字多少 这个小学找规律问题很简单，$3^n$个位数以3，9，7，1为循环节循环，照这个规律很容易得到答案 作为掌握一定数论知识的我们，当然要探其渊薮 个位数的本质是mod 10，而（3，10）=1，根据欧拉定理$3^{\varphi(10)}\equiv 1(mod

容斥定理表现形式

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C |A1∪A2∪…∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak| - … + |A1∩…∩An|×(-1)^(n+1) ==|Ai|-|Ai∩Aj|+|Ai∩Aj∩Ak|+ |A1∩…∩An|×(-1)^(n+

容斥定理

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C|A1∪A2∪…∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj|+Σ|Ai∩Aj∩Ak| - … + |A1∩…∩An|×(-1)^(n+1)==|Ai|-|Ai∩Aj|+|Ai∩Aj∩Ak|+ |A1∩…∩An|×(-1)^(n+1)

中国剩余定理和扩展中国剩余定理

中国剩余定理 定理 \[f(x)=\begin{cases}x \equiv a_1\pmod{m_1}\\x \equiv a_2\pmod{m_2}\\.\\.\\.\\x \equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}其中：m_1,m_2,m_3...,m_n 互质。 \]且 \(M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i,M_i=\frac{M}{m_i},t_i=M_i^{-1}\)，\(t_i\) 是在模 \(