数论——费马小定理
作者：互联网
简介：
费马小定理(\(Fermat's\) \(little\) \(theorem\))是数论中的一个重要定理，在\(1636\)年提出。
定义：
如果 \(p\) 为质数，且 \(a \bmod p \ne 0\)，则有 \(a^{p-1}\bmod p=1\)
\(PS:\)
先证明一个裴蜀定理的引理。
推论：如果 \(a,b\in \mathbb Z^+\)，且 \(gcd(a,b)=1\)，则 \(0,a,2a,3a...(b-1)a\) 这些数 \(\bmod b\) 的值互不相同。
证明：
假设 \(\exists\) 两个不同的数 \(i*a,j*a(0<j<i<b,i,j \in \mathbb Z^+)\)，使 \(ai \bmod b=aj \bmod b\)
则 \(a(i-j) \bmod b=0\)，且\(0<i-j<b\)
矛盾
费马小定理证明：
\(∵(1a*2a*3a*...*((p-1)a)) \bmod p =a^{p-1}*(p-1)! \bmod p\)
又 \(∵p\) 为质数，且 \(p \nmid a\)，根据上述引理可得：
\(a\bmod p,2a \bmod p,3a \bmod p...(p-1)a \bmod p\)互不相同，且区间为 \([1,p-1]\)
\(∴(a*2a*3a*(p-1)a) \bmod p=(p-1)! \bmod p\)
\(∴(p-1)! \bmod p=a^{p-1}*(p-1)! \bmod p\)
\(∴(p-1) !\equiv a^{p-1}*(p-1)! \pmod p\)
又 \(∵p\) 是质数
\(∴gcd(p,(p-1)!)=1\)
\(∴a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)
证毕
努力学数学 \(ing\)
完结
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