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COMPFEST 14 - Preliminary Online Mirror（持续更新）
Preface 9/10：今天不知道为什么一整天头疼的一批，而且牙也疼的吃不了饭，实在写不动题目啊 9/11：晚上发烧了，结果睡了一晚竟然好了……我的自愈能力原来这么强的嘛awa 9/12：得知错过了校队的第一轮选拔（没收到通知qaq），得等大一下才有机会了 不过自己写写题也比较轻松没什么压力，但接下来得准数论全家桶
欧几里得算法 引理 \(1\)：\((a,b) = (a,a-b)\) 令 \((a,b)=d,(a,a-b)=k\)。 \(a \equiv 0 \pmod d, b \equiv 0 \pmod d,a-b \equiv 0 \pmod d\)，所以 \(k \ge d\) \(a \equiv 0 \pmod d, a-b \equiv 0 \pmod d,b=a-(a-b) \equiv 0 \pmod d\)，所以 \(d \ge k\)AtCoder Regular Contest 148 A - mod M
题面 You are given a sequence \(A = (A_1, A_2, ..., A_N)\). You may perform the following operation exactly once. Choose an integer \(M\) at least \(2\). Then, for every integer \(i\) (\(1 \leq i \leq N\)), replace \(A_i\) with the remainder wARC127F ±AB 解题记录
题意： 给出整数 \(V,A,B,M\)，你可以进行以下四种操作若干次： \(V \to V+A\) \(V \to V+B\) \(V \to V-A\) \(V \to V-B\) 但你必须时刻保证 \(V\in[0,M]\)。 求你可以得到多少种不同的 \(V\)。 多组数据，数据组数 \(T \leqslant 10^5\)。 \(1 \leqslant A < B \leqslant M \leqslant数论——费马小定理
简介： 费马小定理(\(Fermat's\) \(little\) \(theorem\))是数论中的一个重要定理，在\(1636\)年提出。 定义： 如果 \(p\) 为质数，且 \(a \bmod p \ne 0\)，则有 \(a^{p-1}\bmod p=1\) \(PS:\) 先证明一个裴蜀定理的引理。 推论：如果 \(a,b\in \mathbb Z^+\)，且 \(gcd(a,b)=1\)，则 \(0,a,2a,质数判定的常数优化
注意：下面可能有部分数学符号使用不规范，看懂就行。 如何迅速判断 \(n\) 是否为质数？ 方法一 枚举 \(i\) 满足 \(1 < i < n\)，则 \(n\) 不是质数，当且仅当全部的 \(i \nmid n\)。 时间复杂度 \(O(n)\)。 bool isp(int n) //isp = is_prime { if (n <= 1) return false; for (int i =同余系全家桶
一.逆元 如果一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，则称 \(x\) 为 \(a \bmod b\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。 使用方法 对于 \(\frac{a}{b} \bmod p\)，求出 \(b \bmod p\) 的逆元，与 \(a\) 相乘并 \(\bmod p\) 得到结果。 优势：避免了分数的精度问题。 求逆元 exgcd 法 求解 \(axUOJ #750. -【UNR #6】小火车（meet-in-the-middle+抽屉原理）
考虑性质 \(2^n>p\)。显然根据抽屉原理必然存在两个子集和 \(\bmod p\) 相等。找出这两个子集然后相减就是答案。 朴素的做总共需要 check \(3^n\) 或者 \(4^n\) 对子集，取决于实现方法，就算 mim 也只能开个根号，无法通过。因此我们肯定不能从这个角度来思考。瞎随机可以拿到 60 分。万能欧几里得算法学习笔记
万能欧几里得算法 基本描述 对于一条直线 \(\dfrac {px+r}{q}\)，满足 \(p>0,q>0,r\in[0,q-1]\)，求解有关 \(\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor,x\) 的一些函数。 考虑在坐标系上考虑这条直线，从 \((0,0)\) 开始走。 定义当直线穿过一条形如 \(y=h(h\in\Z)\) 的横线（下文会称其为横线）时进Lucas定理学习笔记
概念 当 \(p\) 是一个质数时，有 \[\dbinom{n}{m} \bmod p \equiv \dbinom{\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \dfrac{m}{p} \rfloor} \times \dbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \pmod{p} \]实现 引理： 考虑 \[\dbinom{p}{n} \bmod p \]的取值，注意到展开之后其为如下形式 \[\dbinoP1516 青蛙的约会
题目传送门 思路 因为两个青蛙同时跳到同一个点上才算碰面，设 $ t $ 为跳的次数， $ p $ 为两个青蛙跳的圈数之差，有如下式子： \[(x+m \times t ) - ( y+n \times t ) = p \times L \]整理得： \[(n-m) \times t + L \times p = x - y \]首先，要判断 $ \gcd ( n-m , L ) \nmid x-y $ 的AtCoder Regular Contest 145
\(\text{AtCoder Regular Contest 145}\) 目录\(\text{AtCoder Regular Contest 145}\)\(\text A\)\(\text B\)\(\text C\)\(\text D\) \(\text A\) 过于简单，略 \(\text B\) 虽然简单但是细节特别多，略 \(\text C\) 题意： 给你一个数 \(n\)，我们定义一个长度为 \(2n\) 的排列 \(乘法逆元
乘法逆元 对于正整数 \(a\) ，若存在 \(s\) 使 \(as\equiv1 \pmod{m}\) 则记 \(s\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 下的逆元，即 \(s\equiv a^{-1} \pmod{m}\) \(a\) 存在逆元的充要条件为 \(\gcd(a,m)=1\) 费马小定理：若 \(p\) 为质数，则对于任意整数 \(a\) 有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\)2022.7.23 做题记录
Luogu3760 TJOI2017 异或和 Future 7.5 给定长为 \(n\) 的序列 \(a\)，求其所有子区间和的异或值。\(1\le n\le 10^5,1\le \sum a_i\le 10^6\)。 一眼看过去不太会做，瞄了眼标签发现是「树状数组」突然就会了...... 考虑算出来前缀和 \(S_i=\sum_{j=1}^ia_j\)，那么区间和就是 \(S_i-初等数论漫谈/学习记录
八个月前浅尝辄止地碰了一下初等数论，写了一大堆零零散散的blog，想了想最好还是把它们整理一下，顺便补充一点当时没学到/没写到的内容。 以下讨论对象均为整数。 exgcd 21.11.02 即扩展欧几里得，可以以普通欧几里得的复杂度求出关于 \(x,y\) 的不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特质数判定的优化
如何迅速判断 \(n\) 是否为质数？ 方法一 枚举 \(i\) 满足 \(1 < i < n\)，则 \(n\) 不是质数，当且仅当全部的 \(i \nmid n\)。 时间复杂度 \(O(n)\)。 bool isp(int n) //isp = is_prime { if (n <= 1) return false; for (int i = 2; i < n; i++) if (n % i == 0) return fals2022-6-19 #1 CF1270I & CF1637H
每天都要能选出至少三道有意义的题，这样才算没有摆。 本地记录的话容易鸽掉，就放博客上了。（我博客是不是没啥人看啊） 001 CF1270I Xor on Figures 我们定义两个矩阵 \(A,B\) 的异或卷积 \(C\) 为： \[C_{a,b}=\oplus_{(u+i)\bmod 2^k=a}\oplus_{(v+j)\bmod 2^k=b}A_{u,v}B_{i,j} \]我们[AcWing 875] 快速幂
复杂度 $ O(log(k)) $ （k 是指数） 总体复杂度 $ log(2 \times 10^{9}) = 9 \times log(20) \approx 40 $ 点击查看代码 #include<iostream> using namespace std; typedef long long LL; LL qmi(int a, int b, int p) { LL res = 1; while (b) { if (b & 1)欧几里得与拓展欧几里得算法学习笔记
欧几里得与拓展欧几里得 欧几里得算法 欧几里得算法是一种快速求出最大公约数的算法。 内容 对于任意的两个整数 \(a,b\)，其最大公约数 \(\gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b)\)。 证明 对于 \(b>a\) 的情况 ，显然成立。 因此只考虑 \(b<a\) 的情况。设 \(a=q \times b +p，\left( q=\left「APIO2019」奇怪装置
Problem 传送门：左转 右转 Solution 至高无上的xxx250说这道题有循环节，且观察样例可大胆猜测周期一定是\(AB\)的因数。 题目要求求这一坨玩意： \[\begin{cases} x=((t+\lfloor\frac{t}{B}\rfloor)\ \bmod A\\ y=(t\ \bmod B) \end{cases}\]设循环节为\(k\)，因为\(t=0\)时，\(\begin{cas乘法逆元学习笔记
乘法逆元和求法 基本的数论知识，有必要补一发。 开始之前 模运算：取余运算，比如 \(a \bmod b\) 就是 \(a\) 除以 \(b\) 得到的余数。 性质：在加、减、乘、乘方的运算过程中，进行取余运算，不会对结果产生影响。 优先级：取余运算的优先级和乘法、除法的优先级相同，高于加减法的优先级。RSA
RSA公钥密码体制全梳理 算法原理 模 \(\mathrm{pq}\) 时高次同余方程的求解 假设 \(\mathrm{p}\) 和 \(\mathrm{q}\) 是不同的素数, 并假设 \(e \geq 1\), 满足 \[\operatorname{gcd}(e,(p-1)(q-1))=1 \]则 \(e\) 模 \((p-1)(q-1)\) 存在逆元， 即 \[d e \equiv 1(\bmod (p-1)(q-1中国剩余定理
简介 中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中\(m_1,m_2,...,m_k\) 互质） \[\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\equiv} & {a_{1}\left(\bmod \ m_{1}\right)} \\ {x} & {\equiv} & {a_{2}\left(\bmod \ m_{2}\right)}蓝桥杯2022研究生C/C++组
A、裁纸刀 好难。不会。 B、灭鼠先锋 博弈论。 首先、对于棋盘的任一种情况都是必赢或者必输。 基本思路： 如果我存在放置一个棋子，或在同一行的连续两个空位上各放置一个棋子可以赢，我就必赢，否则我必输。然后不断递归即可。 答案：VVVL C、质因数个数 枚举\(~2\sim\sqrt n~\)即可。 每数学杂谈 #6
引 这篇杂谈主要讨论一下 $\bmod $ 和多项式之间的关系，来源于《具体数学》的一道习题： 对于 \(n\bmod 3\) 求出并证明形如 \(a+b\omega^n+c\omega^{2n}\) 的表达式，其中 \(\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i\)，且满足 \(\omega^3=1\)。 原题可以直接使用待定系数法求解： 根据