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乘法逆元学习笔记

2022-04-30 22:31:35 作者：互联网

乘法逆元和求法

基本的数论知识，有必要补一发。

模运算：取余运算，比如 $a \bmod b$ 就是 $a$ 除以 $b$ 得到的余数。

性质：在加、减、乘、乘方的运算过程中，进行取余运算，不会对结果产生影响。

优先级：取余运算的优先级和乘法、除法的优先级相同，高于加减法的优先级。

同余（这个比较重要）：对于整数 $m$，如果整数 $a,b$ 满足 $(a-b) \bmod m=0$，即 $(a-b) \div m$ 得到的是一个整数值，则称整数 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a\equiv b \pmod{m}$。

互质：表示两个数的最大公约数为 $1$，表示为 $(x,y)=1$

求解 $\dfrac{a}{b} \bmod p$ 的值，因为不能先对 $a,b$ 取模再相除，所以引入了逆元。

逆元可以理解为 $\bmod p$ 意义下 $b$ 的倒数。
假设 $inv_b$ 为 $b$ 的逆元，则有 $$inv_b \times b \equiv 1 \pmod{p}$$
即 $\left( inv_b -1 \right) \bmod p =0$

\[\dfrac{a}{b} \equiv a \times inv_b \pmod{p} \]

证明：

\[\because b \times inv_b \equiv 1 \pmod{p} \]

\[\therefore \left( b \times inv_b -1 \right) \bmod p =0 \]

\[\because x \bmod p= x \times y \bmod p \]

\[\therefore \dfrac{a}{b} \times (b \times inv_b -1) \bmod p =0 \]

\[\therefore (a \times inv_b - \dfrac{a}{b}) \bmod p =0 \]

\[\therefore \dfrac{a}{b} \equiv a \times inv_b \pmod{p} \]

得证。

每个数的逆元唯一。

假设 $b$ 有两个逆元 $x,y$。
则可知 $a \times x \equiv a \times y \pmod{p}$

\[\therefore \left(a \times \left( x - y \right) \right) \bmod p =0 \]

\[\because a \bmod p \ne 0 \]

\[\therefore x=y \]

所以每个数的逆元唯一。

这个做法的基础是费马小定理：

若 $p$ 为质数，$a$ 为正数，且 $(a,p)=1$，则有 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。

根据逆元的定义 $inv_a \times a \equiv 1 \pmod{p}$ 可知：$$\because inv_a \times a \equiv a^{p-1} \pmod{p}$$

\[\therefore inv_a \equiv a^{p-2} \pmod{p} \]

也就是说，一个数 $i$ 在模 $p$ 意义下的逆元就是 $i^{p-2} \bmod p$。
用快速幂计算即可。

int x,p;
int ksm(int a,int b){int s=1,t=a;while(b){if(b&1)s=(s*t)%p;t=(t*t)%p;b>>=1;}return s;}
int main(){cin>>x>>p;cout<<ksm(x,p-2)<<endl;}

标签：pmod,inv,笔记,times,逆元,equiv,bmod,乘法
来源： https://www.cnblogs.com/AIskeleton/p/16113857.html