抽样分布定理——统计学（七）
作者：互联网
抽样分布定理可以说是数理统计的基本定理了，因为它奠定了后面参数估计和假设检验的基础，所以掌握好这个定理以及它的证明十分有必要。这里介绍抽样分布定理以外，以及阐述它在后续内容中的重要作用。
一、抽样分布定理
*前提：都是单个总体的样本，样本的数学期望和方差都易求，以此来求总体的数学期望和方差。
设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\)是来自总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的样本，则有：
(1)\(\bar{x}\backsim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\);
(2)\(\bar{x}\)与\(s^2\)相互独立;
(3)\(\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\backsim \chi^2(n-1)\)
二、抽样分布定理衍生分布
定理1（样本的均值与方差的联合分布）
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设 \(X_1,X_2,\dots,X_n\)是来自总体\(N(\mu,\sigma^2)\)的样本， X ‾ \overline X X和 S 2 S^2 S2分别为样本均值和样本方差，则有
X ‾ − μ S / n \frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}} S/n X−μ~ t ( n − 1 ) t(n-1) t(n−1)
*作用：在总体的 σ 2 \sigma^2 σ2未知时，可推测总体的 μ \mu μ值
定理2 （两总体样本均值差的分布）
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设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2,\sigma^2) N(μ2,σ2),且X与Y独立， X 1 , X 2 , . . . , X n 2 X_1,X_2,...,X_{n_2} X1,X2,...,Xn2是取自X的样本， Y 1 , Y 2 , . . . , Y n 2 Y_1,Y_2,...,Y_{n_2} Y1,Y2,...,Yn2取自Y的样本， X ‾ \overline X X和 Y ‾ \overline Y Y分别是这两个样本的样本均值， S 1 2 S_1^2 S12和 S 2 2 S_2^2 S22分别是这两个样本的样本方差，则有
X ‾ − Y ‾ − ( μ 1 − μ 2 ) ( n − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 S 2 2 ) n 1 + n 2 − 2 1 n 1 + 1 n 2 \frac{\overline X-\overline Y-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{(n-1)S_12+(n_2-1S_22)}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} n1+n2−2(n−1)S12+(n2−1S22) n11+n21 X−Y−(μ1−μ2)~ t ( n 1 + n 2 − 2 ) t(n_1+n_2-2) t(n1+n2−2)
定理3 （两总体样本方差比的分布）
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设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， Y Y Y~ N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2,\sigma^2) N(μ2,σ2),且X与Y独立， X 1 , X 2 , . . . , X n 2 X_1,X_2,...,X_{n_2} X1,X2,...,Xn2是取自X的样本， Y 1 , Y 2 , . . . , Y n 2 Y_1,Y_2,...,Y_{n_2} Y1,Y2,...,Yn2取自Y的样本， X ‾ \overline X X和 Y ‾ \overline Y Y分别是这两个样本的样本均值， S 1 2 S_1^2 S12和 S 2 2 S_2^2 S22分别是这两个样本的样本方差，则有
S 1 2 / σ 1 2 S 2 2 / σ 2 2 \frac{S_12/\sigma_12}{S_22/\sigma_22} S22/σ22S12/σ12~ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) F(n_1-1,n_2-1) F(n1−1,n2−1)
参考文献
1.(机器学习|五个重要的抽样分布定理)[https://blog.csdn.net/SanyHo/article/details/105227217]
标签：...,抽样,frac,overline,定理,样本,mu,统计学,sigma 来源： https://www.cnblogs.com/haohai9309/p/16544865.html