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I Hate Non-integer Number（DP）
题意 有一个包含\(N\)个元素的数组\(A\). 有\(2^N - 1\)种方式从中选择至少一项。问其中有多少满足平均值为整数。 题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc262/tasks/abc262_d 数据范围 \(1 \leq N \leq 100\) 思路 如果选中了\(x_1,x_2,\dots, x_i\)，那么它们的平均值为\(\frac{重修 博弈论
由来（doge） Once upon a time, there were two clever people named Alice and Bob. This is how the story begins... 基础 \(N\) 为先手必胜局面，\(P\) 为先手必败局面。 先手被认为输的局势，我们可以称之为奇异局势。 巴什博弈 小学奥数题：甲乙轮流报数至多报 77 个数，至少报 11 个【题解】 洛谷 P1631 序列合并
这个题提供给了我们一个比较新颖的思考方向： 发现由所有的和可以组成这样的 \(n\) 个偏序集： \[\{a_1+b_1,a_1+b_2 \dots a_1+b_n\} \]\[\{a_2+b_1,a_2+b_2 \dots a_2+b_n\} \]\[\dots \]\[\{a_n+b_1,a_n+b_2 \dots a_n+b_n\} \]然后我们可以考虑把每个偏序集中最小的元素加入一反演原理
反演原理 给定函数 \(F\to G\) 之间的（求和）关系式，由此推出 \(G\to F\) 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。 定义两个关系矩阵 \(A\) ，来描述求和关系 \(F\) 和 \(G\) 。 \(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}\times G[j]}\Leftrightarrow G[i]=\sum_{j=1}^{i}{B_{i,j}\times F[Note -「因数的欧拉函数求和」
归档。 试证明：\(\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x\) Lemma 1. 试证明：\(\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k\)，其中 \(p\) 为质数。 证明：显然，和 \(n\) 不互质的数一定含有 \(p\) 因子，而在 \([1, n]\) 中总共有 \(\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}\) 个母函数
母函数 引入(母函数的意义) \((x_1+x_2+\dots x_k)^n\) 的多项式展开。 形成 \({x_1}^{n_1}\times {x_2}^{n_2}\times \dots \times{x_k}^{n_k}\) 的方案数。（满足 \(n_1+n_2+\dots +n_k=n\)，下同） \(n\) 个盒子，每个盒子有 \(k\) 种球，从每个盒子选一种球，选 \(n_1\) 个 \(x_1\)，\(n_2215. 破译密码
题目链接 215. 破译密码 达达正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题： 对于给定的整数 \(a,b\) 和 \(d\)，有多少正整数对 \(x,y\)，满足 \(x \le a，y \le b\)，并且 \(gcd(x,y)=d\)。 作为达达的同学，达达希望得到你的帮助。 输入格式 第一行包含一个正整数 \(n\)，表示一共有 \(n\) 组询lyndon 分解学习笔记
lyndon 分解学习笔记 定义 lyndon 串 一个字符串，如果他是他的最小后缀，那么他就是 lyndon 串。 还有一种定义是，在他的循环同构里他是字典序最小的那个。 近似 lyndon 串 设 \(t\) 是一个 lyndon 串，\(t^c\) 为 \(t\) 拼接 \(c\) 次，\(t'\) 为 \(t\) 可空前缀，那么 \(t^c + t'\) 为近似数学专题
Counting Ones (30) Link 题意：给定一个数n，求出1~n这n个十进制数中1出现的次数。例如11中1出现了2次，10中出现了1次。 思路：对于n，假设它写成十进制有m位，表示为： \(a_1 a_2 a_3 \dots a_m\) 其中 \(n=a_1*10^{m-1}+a_2*10^{m-2}+\dots +a_{m-1}*10+a_m\). 那么就对这m位从低到高遍历一Lucky Numbers（枚举，计数）
题意 给定一个长度为\(N - 1\)的整数序列\(S = (S_1, S_2, \dots, S_{N-1})\)以及\(M\)个不同的被称为幸运数的整数\(X_1, X_2, \dots, X_M\)。 一个长度为\(N\)的整数序列\(A = (A_1, A_2, \dots, A_N)\)满足如下条件时被称为好序列： 对于任意\(i = 1, 2, \dots, N - 1\)，有：\(A_iLyndon 分解
Lyndon 分解 以下所有字符串的大小关系都是对字符串字典序的比较。 定义串 \(S\) 为 Lyndon 串当且仅当 \(S\) 小于其所有不为 \(S\) 的后缀。 该命题等架于 \(S\) 是它的所有循环表示中最小的。 定义串 \(S\) 的 Lyndon 分解为将 \(S\) 分为若干部分 \(S=w_1w_2\dots w_m\) 使得CF662B Graph Coloring题解--zhengjun
题目传送门 题目大意 给你一张无向图，图中每条边是蓝色或者红色的，让你每次选一个点，就会把与这个点相连的边的颜色反转（红变蓝，蓝变红），求最少步数的方案使得最后所有边的颜色都一样。 思路 好像没有 \(2-sat\) 的题解，那我就来一发。 首先分类讨论：要么都变成红色，要么都变成蓝色。 如果DTOJ #3194. 去月球 题解
几个关键点。 可以用栈模拟求答案过程，因为随便匹配答案也是对的，很好反证，读者自证不难。 对于区间 \([l,r]\) 询问，可以用前缀 \(l-1\) 和前缀 \(r\) 的栈状态回答：如果 \(l-1\) 的状态是 \(a_1,a_2,\dots,a_x\)，加入 \([l,r]\) 后，变成 \(a_1,a_2,\dots,a_y\)，其中两段的 \(\operatornBurnside引理和Polya定理笔记
讲的东西越难，越要坚持做笔记！ 以往的板子都记在剪贴板上，因为没什么推导。但群论不得不推导一堆。 置换与置换群 有限集合到自身的双射称为 置换。 e.g. 对于 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\), \[ f=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\dots,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n} \end{pmat递推公式转换，时间复杂度
\(a_n=2a_{n-1}+1(n>1)\) 这是谢宾斯基三角形的递推公式 \(a_n=3^{n-1}\) 这是谢宾斯基三角形的通项公式 这完全可以出一道时间复杂度的题目 我们转化一下 \[a_n=2a_{n-1}+1(n>1) \]\[=2(2a_{n-2}+1) + 1 \]\[=2(2(2a_{n-3}+1)+1) + 1 \]\[=2(2(2\dots(2+1)\dots +1) \]\[=3^{n-1}AtCoder 比赛记录
ARC 140 打得很烂。Rank 590，Performance 1696。 D - One to One 每个点都有恰好一个出边，所以这是一个外向基环森林。因此连通块数就等于环的个数，我们只需要求出所有方案中环的个数的总和。直接算比较难办，考虑算每个环对答案的贡献。 首先，假如忽略掉 \(A_i=-1\) 的连通块，剩下的环是P2350
P2350 [HAOI2012]外星人 给定一个表示为 \(\prod\limits_{i=1}^m p_i^{q_i}\) 的数 \(N\)。 对于 \(N\)，求出 \(x\) 满足 \(\begin{matrix}\underbrace{\varphi(\varphi(\varphi(\varphi(\dots \varphi(N) \dots))))}\\x 个 \varphi()\end{matrix}=1\)。【笔记】自动控制原理
自控要期末考，文章合为时而著 这玩意可能挺有意思的，但最后沦为为考试而学了 说起来我为什么要学这种课？ 记一些思想，免得以后忘光了可惜 输入 \(r(t)\)，输出 \(c(t)\) 微分方程 \(c^{(n)}+a_{n-1}c^{(n-1)}+\dots+a_0 c = b_m r^{(m)}+\dots+b_0 r\) 拉普拉斯变换到复数域，定义传递函数Namomo Camp Div1 合适数对（数据加强版）
合适数对（数据加强版） 思路： 我们考虑一个数什么时候可以表示为\(x ^ {k}\)，先把\(x\)进行质因数分解可以得到\(x = p_{1}^{t_1} * p_{2} ^ {t_2} \dots * p_{n} ^ {t_n}\),所以\(x ^ {k}\)就可以表示为\(x ^ {k} = p_{1} ^ {k_1} * p_{2} ^ {k_2} \dots * p_{n} ^ {k_n}\), 其中\(k_1高等代数： 2 行列式
2 行列式 2.1 n元排列 1、n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。 2、顺序、逆序、逆序数：τ(abcd...)（读音：tao）、奇排列、偶排列、对换(a,b) 3、定理1：对换改变n元排列的奇偶性。 4、定理2：任一n元排列与顺序排列123……n可以经过一系类对换互变，且所做对换次数与这个n元排列有最大子矩阵
最大子矩阵 给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{n}$ 和一个长度为 $m$ 的整数数组 $b_{1},b_{2}, \dots ,b_{m}$。 设 $c$ 是一个 $n \times m$ 的矩阵，其中 $c_{i,j} = a_{i} \times b_{j}$。 请你找到矩阵 $c$ 的一个子矩阵，要求：该子矩阵所包含的所有元素之和97. 约数之和
题目链接 97. 约数之和 假设现在有两个自然数 \(A\) 和 \(B\)，\(S\) 是 \(A^B\) 的所有约数之和。 请你求出 \(S\mod9901\) 的值是多少。 输入格式 在一行中输入用空格隔开的两个整数 \(A\) 和 \(B\)。 输出格式 输出一个整数，代表 \(S\mod9901\) 的值。 数据范围 \(0≤A,B≤5×10^7CF510B Fox And Two Dots 题解
题意 判断一个$n \times m $ 的棋盘上是否有环 \((\)颜色相同的环状连通块，且最少有4块\()\)。 分析 用dfs搜一遍，如果是颜色相同的就继续搜，记录起点和转弯次数，如果转\(4\)次走回起点就输出YES，如果搜了一遍搜不到环，就输出NO。 代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; c2021第十二届蓝桥杯Python组
A卡片 cards = [2021]*10 i = 1 while True: s = str(i) for j in s: cards[int(j)] -= 1 flag = False for j in cards: if j < 0: flag = True break if flag: break i += 1 print(i-1) # 3181线性代数入门
前言 这篇东西大部分都是在瞎bb，大佬们可以选择不看。大部分内容来自 \(\rm 3Blue1Brown\) 大佬的视频。 需要先学高斯消元。 基础向量 定义一个 \(n\) 维的向量 \(\vec v\) ，其长度用 \(|\vec v|\) 表示，一般来说，我们可以用一个 \(n\) 元组（可以理解为一个长度为 \(n\) 的序列）表示一