DTOJ #3194. 去月球 题解

几个关键点。

1. 可以用栈模拟求答案过程，因为随便匹配答案也是对的，很好反证，读者自证不难。
2. 对于区间 \([l,r]\) 询问，可以用前缀 \(l-1\) 和前缀 \(r\) 的栈状态回答：如果 \(l-1\) 的状态是 \(a_1,a_2,\dots,a_x\)，加入 \([l,r]\) 后，变成 \(a_1,a_2,\dots,a_y\)，其中两段的 \(\operatorname{lcp}\) 为 \(a_1,a_2,\dots,a_k\)。区间 \([l,r]\) 内无法匹配的数量即为 \(x+y-2k\)。证明如下：
   1. 如果区间 \([l,r]\) 中的一段完美匹配没有被用来配对 \(l-1\) 的栈，那么这段完美匹配不会被用来贡献答案，理由显然，因为这一段完美匹配根本不会影响 \(l-1\) 的栈状态。
   2. 如果区间 \([l,r]\) 中的一段完美匹配的部分被用来配对 \(l-1\) 的栈，会发现这一段仍然不会修改 \(l-1\) 的栈状态。因为如果完美匹配的其中一个左括号用来匹配 \(l-1\)，右括号就一定会填回原来的位置。
3. 发现无法存下每个前缀栈状态，考虑按顺序加点，用 trie 来存储，类似主席树。因为入栈元素和出栈元素在 trie 上都可以很好地找到对应的操作（走儿子，跳父亲），在 trie 上查询 \(\operatorname{lcp}\) 就相当于查询 \(\operatorname{lca}\)。
4. 顺带一提，这个存前缀（似乎）实现了可持久化栈。

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