数学专题

Counting Ones (30)

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题意：给定一个数n，求出1~n这n个十进制数中1出现的次数。例如11中1出现了2次，10中出现了1次。
思路：对于n，假设它写成十进制有m位，表示为：
\(a_1 a_2 a_3 \dots a_m\)
其中 \(n=a_1*10^{m-1}+a_2*10^{m-2}+\dots +a_{m-1}*10+a_m\).
那么就对这m位从低到高遍历一遍，每次将这m个数按照当前位划分为三组：left, now, right
第1次：
\(a_ma_{m-1}\dots a_{2}\), \(a_{1}\), \(0\)
第2次：
\(a_ma_{m-1}\dots a_{3}\), \(a_{2}\), \(a_{1}\)
第3次：
\(a_ma_{m-1}\dots a_{4}\), \(a_{3}\), \(a_{2}a_{1}\)
......
第m次：
\(a_m\), \(a_{m-1}\), \(a_{m-2}\dots a_{2}a_{1}\)

这样划分的作用很明显。因为当前位now的值很重要：
例如21031这个数，当前位是0，那么left=21, now=0, right=31。
此时，我们想要找出不超过n的数中now位（即从低到高的第3位，百位）为1的数的个数。
但是现在now位为0，相当于是要将now位增大，那么只好借位了——那就是让left变小。left本来是21，那么我们就取left在[0,20]这个闭区间内的值，这样now位就可以取[0,9]中的任意值了！但是我们只需要1，这样我们就可以计算出now位为1的数的个数。
left确定了，那么right该怎么取值呢？
如果left<21，那么right可以取[0,99]中的任意数；如果left==21，那么right只能取[0,31]中的数，而且此时now必须为0。但是现在我们考虑now==1的情况，因此right可以取[0,99]中的任意数。综上，now位为1的不大于n的数为(20-0+1)*(99-0+1)=2100。
在遍历每一位的过程中，我们设置了a来表示当前位处于整个数的什么位置——如果当前位是个位，a就是1；如果当前位是十位，a就是10…以此类推。因此，right部分的取值范围是[0,a-1]这个闭区间，总个数是 a-1-0+1=a。

刚才是 now==0 的情况。如果 now==1，那么当left取[0,left-1]时，right可以取[0,a-1]；当left取值就是left时，right只能取[0,right]，即right+1个数。

如果 now>2，那么left取[0,left]，right取[0,a-1]。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <string.h>
#include <vector>
using namespace std;
int n,ans;
int main() {
	scanf("%d",&n);
	int a=1,left,now,right;
	while(n/a){
		left=n/(a*10),now=(n/a)%10,right=n%a;
		if(now==0) ans+=left*a;
		else if(now==1) ans+=left*a+right+1;
		else ans+=(left+1)*a;
		a*=10;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

标签：dots,10,专题,include,right,数学,now,left
来源： https://www.cnblogs.com/preccrep/p/16412997.html