行列式

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代数余子式和伴随矩阵

代数余子式给定 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$，定义 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 为 $A$ 划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式，$a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij}$ 。代数余子式可以用于行列式的求值，比如按第 $r$ 行展开： \[\det A=\sum_{c=1}^na_{rc}

线性代数学习笔记

目录行列式 1.1 二阶和三阶行列式 1.2 $n$ 阶行列式 1.3 行列式的性质 1.4 行列式按行 (列) 展开矩阵 2.1 线性方程组和矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 克莱姆法则 2.5 矩阵的初等变换 2.6 高斯消元（学一点更一点qwq） 1.行列式 1.1 二阶和三阶行列式对于一个二元一次

行列式求值

当模数不为质数的时候，可以用辗转相减来消元。每个数的大小在消元的过程都会变小，以这个作为势能，不难分析出复杂度为 $\mathcal{O}(n^2(\log p+n))$．代码实现参考 qyc 的板子，常数小而且好写，qyc nb！ #include<cstdio> #include<vector> #include<cstring> #include<iostream> #incl

《线性代数》知识点汇总

原文网址：《线性代数》知识点汇总 - 知乎 (zhihu.com) 一、行列式：行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数； 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和； 3、行列式性质：（用于化简行列式）；（1）行列互换（转置），行列式的值不变；（2）两行（列）互换，行列式变号；（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有

副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行

副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行前言：重在记录，可能出错。 1. 简而言之，可以用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行，直到行列式完全上下翻转。但需要对n讨论奇偶。 2. 如果n是奇数，这种对换方法需要对换（变号）(n-1)/2次

行列式学习笔记（二）

上期回顾上次介绍了行列式的基本性质，我们继续探索由性质得出的有用结论（以二阶行列式为基准）。结论一如果行列式两行相同，则行列式的值是 $0$ 。证明： \[\because \begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} c&d\\ a&b\\ \end{vmatrix}\\ \therefore \begin{

行列式与高斯消元基础

一、二元线性方程与二阶行列式（一）二元线性方程的解设有方程：　　　　可看出$x_1,x_2$的分母相同，由$x$的四个系数组成而两数分子由三对系数组合构成（二）行列式引进一个符号表示“四个数分成两对相乘再相减” 其中，$a_{ij}(i = 1,2 ; j = 1,2)$称为行列式中的元素，且：　　i 为

行列式的计算

一.行列式特殊计算方法 1.制造行和 2.加边法（前提是不能改变行列式的值） 3.范德蒙德行列式 4.反对称行列式特点是：定理：当一个行列式属于反对称行列式且为奇数阶行列式，那么这个行列式的值为0

克莱姆法则

克莱姆法则只适用于方程个数等于未知量个数的方程组的解题. 系数行列式：克莱姆法则：如果一个方程组符合以下两个条件：①n个方程，n个未知量；②系数行列式D不等于0。那么其中一个未知量m的值为. 齐次方程组：定理1：如果一个方程组是齐次方程组，方程个数与未知量个数相等，并且系数行列式不等

2.6 Determinant Formulas and Cofactors

行列式公式和代数余子式 reference的内容为唯一教程，接下来的内容仅为本人的课后感悟，对他人或无法起到任何指导作用。 Reference Course website: Determinant Formulas and Cofactors | Unit II: Least Squares, Determinants and Eigenvalues | Linear Algebra | Mathematics

[学习笔记] 矩阵树定理

因为在临时抱佛脚，所以是没有证明的~ 0. 前置芝士 0.1. 拉普拉斯展开对于行列式 $D$，任意第 $i$ 行（列同理）按下式展开的值与行列式值相等 \[\text{Value}=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}\cdot a_{i,j}\cdot M_{i,j} \]其中 $M_{i,j}$ 是 $a_{i,j}$ 的余子式。一些闲话：这个可以用

高等代数： 2 行列式

2 行列式 2.1 n元排列 1、n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。 2、顺序、逆序、逆序数：τ(abcd...)（读音：tao）、奇排列、偶排列、对换(a,b) 3、定理1：对换改变n元排列的奇偶性。 4、定理2：任一n元排列与顺序排列123……n可以经过一系类对换互变，且所做对换次数与这个n元排列有

鞋带定理（Shoelace公式）

定理：　　三角形OP2P3的面积，OP2 x OP3，带有符号的面积，按照右手螺旋定理，为正。同理推测其他三角形。　　S总 = ΣSi ， S = |S总|；推广到表面网格的体积计算，先看四面体体积计算：矩阵行列式表达： V是个带符号的实数，正负号与矩阵的行列式的

线性代数知识

导言线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。内容来源于算法与数学之美 1. 线性代数知识图谱线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例

矩阵行列式的几何意义

转载：矩阵行列式的几何意义 - Tsingke - 博客园 (cnblogs.com) 矩阵行列式的几何意义行列式的定义：行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩

[3D数学基础：图形与游戏开发]读书笔记第9章（矩阵的更多知识、行列式、逆、正交矩阵、4x4齐次矩阵）未完待续

线性代数总结记录五：逆矩阵

一.初等矩阵　　将单位阵E经过一次变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是方阵。这种初等变换有某一行（列）的n倍加到另一行（列）上、互换行列位置、某一行（列）全部乘以某实数三种基本情况。　　每一个初等矩阵都可以写作单位阵左乘或右乘一个矩阵的形式。初等行变换是左乘，初等列变换

雅可比矩阵

转载：雅可比矩阵_百度百科 (baidu.com) 在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。 [1] 中文名雅可比矩阵外

试题解析

试题解析$T1$简化题意一个序列是优美的当且仅当可以通过操作(将相邻两个数移动到序列任意位置)使序列不降考虑怎么使这个序列不降,考虑移动会造成的影响,逆序对$+/-2$,或者不变那么如果有偶数个,那么一定优美,否则一定不优美如果是偶数个,肯定能构造出一种方案使得逆序对减少到$0$

线性方程组的方法-数值分析-王兵团-北京交通大学

[Class]数值分析.王兵团.北京交通大学.全128讲[48:35:32]_哔哩哔哩_bilibili 注解： 1.线性代数中线性方程组的方法：克拉默法则。线性方程组： Ax=b 解： xi=Di/D 如果A可逆，还可以写成：x=A-1/b 方程组的解是：系数行列式某一项换成等式右端常数项/系数行列式。既然可以有这么好的公式，

java递归计算n阶行列式

给定一个N×N的矩阵A，求|A|。输入格式：第一行一个正整数N。接下来N行，每行N个整数，第i行第j个数字表示A[i][j]。输出格式一行，输出|A|。 java代码： import java.util.Scanner; public class Main { public static int f(int arr[][], int n) { if(n==1) return arr[0][0

线性代数

线性代数总结1.矩阵乘法A$\times$B=C $ \ \ \ \ \ \ $$C[i][j]$表示$\sum{A[i][k]\times B[k][j]}$$ \ \ \ \ $$DP$ 思想$G\times G$ $ \ \ \ G[i][j]$ 表示从$i$到$j$所有长度为$2$的方案数$(AB)C=A(BC)$$A \times x=b \ \ \ $数线性齐次方程组$(x

行列式&矩阵树定理学习笔记

1.0 行列式 1.1 定义对一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$（$n$ 阶方阵），其 $n$ 阶行列式写作 $\det(A)$ 或者 $|A|$，定义为： \[\det(A)=|A|=\sum_p(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^n a_{i,p_i} \]其中$p$ 表示一个排列，所有可能的 $p$ 则是 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个数的全排列

MATLAB笔记5：矩阵的转置、求逆、旋转、翻转；矩阵的行列式、秩、迹；矩阵的特征值、特征向量

转载：(210条消息) MATLAB笔记5：矩阵的转置、求逆、旋转、翻转；矩阵的行列式、秩、迹；矩阵的特征值、特征向量_BINGOMAX的博客-CSDN博客_matlab矩阵转置和求逆矩阵的转置、求逆、旋转、翻转inv(A)：求矩阵A的逆矩阵；转置：A.'为矩阵A的转置，A’为矩阵A的共轭转置；rot90(A,k)：将矩阵A逆时针

线性代数行列式的计算

主对角线(从左上角到右下角这条对角线)下方的元素全为零的行列式称为上三角行列式。一个n阶行列式若能通过变换，化为上三角行列式，则计算该行列式就很容易了。通过初等变换，把普通的行列式转换为上三角行列式。就可以通过外面的系数，乘以主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上的