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线性代数学习笔记

作者:互联网

目录

  1. 行列式
    1.1 二阶和三阶行列式
    1.2 \(n\) 阶行列式
    1.3 行列式的性质
    1.4 行列式按行 (列) 展开
  2. 矩阵
    2.1 线性方程组和矩阵
    2.2 矩阵的运算
    2.3 逆矩阵
    2.4 克莱姆法则
    2.5 矩阵的初等变换
    2.6 高斯消元
    (学一点更一点qwq)

1.行列式

1.1 二阶和三阶行列式

对于一个二元一次方程组:

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \\ \end{cases} \]

当其有解时,解为

\[x_1= \frac{b_1 \,a_{22}-a_{12}\,b_2}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \qquad x_2= \frac{b_2\,a_{11}-a_{21}\,b_1}{a_{11}\,a_{22}-a_{12}\,a_{21}} \]

注意到分母是由等号左侧 4 个系数构成,我们把这四个数排成 2 行 2 列的形式:

\[a_{11} \quad a_{12} \\ a_{21} \quad a_{22} \]

表示式 \(a_{11} \, a_{22}-a_{12} \, a_{21}\) 称为上面形式所确定的二阶行列式,记作

\[\left | \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right | \]

数 \(a_{ij}\) 表示行列式内第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元。
所以二阶行列式便是 \(a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}\)

三阶行列式定义类似
对于一个 9 个数排成 3 行 3 列的形式,记作

\[\left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \]

\(=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{13}\,a_{21}\,a_{32}-a_{13}\,a_{22}\,a_{31}-a_{12}\,a_{21}\,a_{33}-a_{11}\,a_{23}\,a_{32}\)
上述表明:三阶行列式含 6 项,每项均为不同行不同列的 3 个元素乘积再冠以正负号。
是不是非常简单?

1.2 \(n\) 阶行列式

回到 3 阶行列式上
\( \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \)
\(=a_{11}\,a_{22}\,a_{33}+a_{12}\,a_{23}\,a_{31}+a_{13}\,a_{21}\,a_{32}-a_{13}\,a_{22}\,a_{31}-a_{12}\,a_{21}\,a_{33}-a_{11}\,a_{23}\,a_{32}\)
很容易看出,该式右边的每一项都是三个数的乘积,且这三个数都位于不同的行,不同的列。所以我们可以把每一项写成 \(a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,a_{3p_3}\) 的形式。可以发现,这一项每个元素的行标都是 \(123\) ,列标都是 \(p_1p_2p_3\) ,即为 \(1,2,3\) 的排列 ,这种排列的种数 \(=P_3=6\),对应该式共有 \(6\) 项。注意到每一项的正负性,我们发现,当列标排列是偶排列时,此项带正号,为奇排列时,带负号。又因为奇排列偶排列是以排列的逆序数为标准的,所以我们便可推出:
令 \(k=\) 该项排列的逆序数
\( \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right | \\ \) \(=\sum_{i=1}^{P_3} (-1)^k\,a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,a_{3p_3}\)
推广到一般形式:
令 \(k=\) 该项排列的逆序数
对于行列式
\(D= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2n}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn} \end{array} \right | \\ =\sum_{i=1}^{P_n} (-1)^k\,a_{1p_1}\,a_{2p_2}\,...\,a_{np_n}\)
记作 \(\text{det}(a_{ij})\)。

\(n\) 阶行列式从 \(a_{11}\) 到 \(a_{nn}\) 的连线称作主对角线。
主对角线以上(下)均为 \(0\) 的行列式称为下(上)三角行列式,主对角线上下均为 \(0\) 的行列式称作对角行列式。
这 \(2\) 种特殊的行列式 \(D,D´\) 均等于主对角线上各元素之积。

1.3 行列式的性质


\(D= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2n}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn} \end{array} \right |\)

\(D´= \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{21} & a_{31}& ... & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32}&... & a_{n2}\\ ~~&&......\\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} &...& a_{nn} \end{array} \right |\)

称行列式 \(D´\) 称为 \(D\) 的转置行列式。
性质 \(1\):\(\,\)行列式与它的转置行列式相等。
性质 \(2\):\(\,\)对换行列式的两行(列),行列式变号。
记 \(r_i , c_i\) 为行列式的第 \(i\) 行,第 \(i\) 列,则对换第 \(i,j\) 行记作 \(r_i↔r_j\),对换第 \(i,j\) 列记作 \(c_i↔c_j\)。
推论:如果行列式中有两行(列)完全相同,则此行列式等于 \(0\)。
性质 \(3\):\(\,\)行列式的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
第 \(i\) 行(列)乘 \(k\),记作 \(r_i×k\)(或 \(c_i×k\))。
推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质 \(4\):\(\,\)行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式等于 \(0\)。
性质 \(5\):\(\,\)行列式的某行等于两数之和,等于这一行分开后的两个行列式之和。
性质 \(6\):\(\,\)把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变。

所以对于计算行列式的题,我们可以通过上述性质将需计算的行列式化为上(下)三角行列式,再行计算。

1.4 行列式按行(列)展开

对于一个高次的多项式,我们更喜欢计算低次的多项式。
同理,对于一个高阶的行列式,我们更喜欢计算低阶的行列式。
所以我们引入余子式和代数余子式的概念,来方便我们计算。

在 \(n\) 阶行列式中,把 \((i,j)\) 元 \(a_{ij}\) 所在的行 \(i\) 和列 \(j\) 划去后,所剩下的 \(n-1\) 阶行列式叫做 (i,j) 元 \(a_{ij}\) 的余子式,记作 \(M_{ij}\)。
记 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}\,M_{ij}\),
\(A_{ij}\) 叫做 \((i,j)\) 元 \(a_{ij}\) 的代数余子式

引理:一个 \(n\) 阶行列式,如果其中第 \(i\) 行所有元素除 \((i,j)\) 元 \(a_{ij}\) 外均为 \(0\) ,那么此行列式等于 \(a_{ij}\) 与它的代数余子式的乘积
即:

\[D=a_{ij}\,A{ij}=(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,M_{ij} \]

定理 \(2\):行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式成绩之和
即:

\[D=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}\,A_{ik}=\sum^{n}_{k=1}a_{kj}\,A_{kj}\,\, (i,j∈\{k|1≤k≤n,k∈ \mathbb{N}^+\}) \]

定理 \(2\) 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于 \(0\)。
定理 \(2\) 叫做行列式按行(列)展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算。
将定理 \(2\) 与其推论结合,便可得到代数余子式的重要性质:

\[\sum_{k=1}^{n}a_{ki}\,A_{kj}=\left\{ \begin{aligned} D,\ i=j\\ 0,\ i≠j \end{aligned} \right. \]

\[\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,A_{jk}=\left\{ \begin{aligned} D,\ i=j\\ 0,\ i≠j \end{aligned} \right. \]

可以用以上性质解部分复杂题。


2.矩阵

2.1 线性方程组和矩阵

对于 \(m\) 个未知数 \(n\) 个方程的方程组:

\[\begin{cases} a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\,···+\,a_{1m}\,x_n=b_1 \\ a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\,···+\,a_{2m}\,x_n=b_2 \\ \qquad\qquad\quad\quad ···········\\ a_{n1}\,x_1+a_{n2}\,x_2+\,···+\,a_{nm}\,x_n=b_n \\ \end{cases} \]

将该方程等号左侧各系数取出,排成 \(n\) 行 \(m\) 列的数表,将此述标称作 \(n\) 行 \(m\) 列矩阵,简称 \(n×m\) 矩阵,记作:

\[\bf A= \left ( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& ... & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}&... & a_{2m}\\ ~~&&......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nm} \end{array} \right ) \]

\(n×m\) 矩阵 \(\bf A\) 也记作 \(\bf A_{n×m}\) 矩阵。
行数与列数都为 \(n\) 的矩阵称为 \(n\) 阶矩阵或 \(n\) 阶方阵,也记作 \(\bf A_n\)。
矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素记作 \(\bf A_{ij}\) 或 \(a_{ij}\)。所有 \(n×m\) 阶矩阵构成的集合记作 \( \mathcal{M}_{n \times m}(\R)\) ,特别的,所有 \(n\) 阶矩阵构成的集合记作\( \mathcal{M}_{n}(\R)\)
只有一行的矩阵称作行矩阵,只有一列的矩阵称作列矩阵。
如果 \(2\) 个矩阵的行数列数相同,则称它们为同型矩阵。
如果 \(2\) 个同型矩阵对应元素相等,即:

\[a_{ij}=b_{ij}\,\,(\forall 1≤ i ≤ n ,1≤j≤m) \]

那么称矩阵 \(\bf A\) 与矩阵 \(\bf B\) 相等,记作:

\[\bf A =\bf B \]

元素都为 \(0\) 的矩阵称作零矩阵,记作 \(\bf O\)。注意不同型的零矩阵不同。

2.2 矩阵的运算

\[(\mathbf{A} \pm \mathbf{B})_{ij} = \mathbf{A}_{ij} \pm \mathbf{B}_{ij}, \forall 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m \]

\[\mathbf{A} \pm \mathbf{B} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{11} \pm \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \pm \mathbf{B}_{12} & \cdots & \mathbf{A}_{1m} \pm \mathbf{B}_{1m} \\ \mathbf{A}_{21} \pm \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \pm \mathbf{B}_{22} & \cdots & \mathbf{A}_{2m} \pm \mathbf{B}_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{A}_{n1} \pm \mathbf{B}_{n1} & \mathbf{A}_{n2} \pm \mathbf{B}_{n2} & \cdots & \mathbf{A}_{nm} \pm \mathbf{B}_{nm} \\ \end{pmatrix} \]

\[(\lambda \mathbf{A})_{ij}=\lambda \mathbf{A}_{ij} \]

\[\lambda\mathbf{A}= \begin{pmatrix} \lambda\mathbf{A}_{11}& \lambda\mathbf{A}_{12}& \cdots & \lambda\mathbf{A}_{1m} \\ \lambda\mathbf{A}_{21}& \lambda\mathbf{A}_{22} & \cdots & \lambda\mathbf{A}_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda\mathbf{A}_{n1}& \lambda\mathbf{A}_{n2}& \cdots & \lambda\mathbf{A}_{nm}\\ \end{pmatrix} \]


在努力更了捏

标签:11,mathbf,21,ij,矩阵,笔记,学习,线性代数,行列式
来源: https://www.cnblogs.com/sheeplittlecloud/p/16566230.html