代数余子式和伴随矩阵

代数余子式

给定 \(n\) 阶方阵 \(A=(a_{ij})\)，定义 \(a_{ij}\) 的余子式 \(M_{ij}\) 为 \(A\) 划去第 \(i\) 行第 \(j\) 列后的行列式，\(a_{ij}\) 的代数余子式 \(A_{ij}=(−1)^{i+j}M_{ij}\) 。

代数余子式可以用于行列式的求值，比如按第 \(r\) 行展开：

\[\det A=\sum_{c=1}^na_{rc}A_{rc} \]

按第 \(c\) 列展开是同理的。

伴随矩阵

定义

在 \((1)\) 式中，如果把 \(a_{rc}\) 中的 \(r\) 替换成 \(i≠r\)，则该乘积对应了将 \(A\) 的第 \(i\) 行替换成第 \(r\) 行后的行列式——该行列式有两行相等，所以它等于 \(0\) 。

所以我们有 \(\sum_{c=1}^na_{ic}A_{jc}=\det A \cdot [i=j]\)，把它写成矩阵乘法就是：

\[A(A_{ij})^{\mathrm T}=\det A \cdot I_n \]

我们定义 \(A^*=(A_{ij})^{\mathrm T}\) 是 \(A\) 的伴随矩阵。

同样的结论对列也成立，所以 \(AA^*=A^*A=\det A \cdot I_n\) 。

计算

如果 \(r(A)=n\)，用高斯消元法分别求出 \(\det A\) 和 \(A−1\)，\(A^*=\det A \cdot A^{-1}\) 。

如果 \(r(A)⩽n−2\)，\(A\) 的任意 \(n−1\) 阶子式都为 \(0\)，所以 \(A^*=O\) 。

如果 \(r(A)=n−1\):

标签：cdot,矩阵,det,ij,行列式,代数,余子式
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