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《线性代数》知识点汇总

2022-07-24 09:31:23 作者：互联网

原文网址：《线性代数》知识点汇总 - 知乎 (zhihu.com)

一、行列式：

行列式概念和性质

1、逆序数：所有的逆序的总数；

2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和；

3、行列式性质：（用于化简行列式）；

（1）行列互换（转置），行列式的值不变；

（2）两行（列）互换，行列式变号；

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k，等于用数k乘此行列式；

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和；

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变；

（6）两行成比例，行列式的值为0 ；

重要行列式

4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积；

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 $(-1)^{\frac{n\left( n-1 \right)}{2}}$ ；

6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式：

8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

按行（列）展开

9、按行展开定理：

（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值；

（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0；

行列式公式

10、行列式七大公式：

（1） $|kA|=k n |A|$ ；

（2） $|AB|=|A| ·|B|$ ；

（3） $|A^{T} |=|A|$ ；

（4） $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ ；

（5） $|A^{*}|=|A| ^{n-1}$ ；

（6）若 $A$ 的特征值为 $λ1,λ2,,, λn$ ，则 $\left| A \right|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$ ；

（7）若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $|A|=|B|$ ；

克莱姆法则

11、克莱姆法则：

（1）齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 $x_{j}=\frac{D_{j}}{D},\kern{6pt}j=1,2,...,n$ ； $D$ 是系数系数行列式，其中 $D_{j}$ 是把 $D$ 中第 $j$ 列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式；

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0；

（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有 $D=0$ ；

二、矩阵

矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项：

（1）矩阵乘法要求前列后行一致；

（2）矩阵乘法不满足交换律；

（3） $AB=〇$ 不能推出 $A=〇$ 或 $B=〇$ ;

2、转置的性质：

（1） $(A+B)^T =A^T+B^T$

（2） $(kA)^T=kA^T$

（3） $(AB)^T =B^TA^T$

（4） $|A| ^T =|A|$

（5） $(A ^T)^T =A$

矩阵的逆

3、逆的定义： $AB=E$ 或 $BA=E$ 成立，称 $A$ 可逆， $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，记为 $B=A^{-1}$ ; 注： $A$ 可逆的充要条件是 $|A| ≠0$ ;

4、逆的性质：

（1） $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}·A^{-1} (k≠0)$

（2） $(AB)^{-1}=B^{-1}·A^{ -1}$

（3） $|A^{-1}|=|A|^{-1}$

（4） $(A^{T})^{-1} =(A^{-1})^{T}$

（5） $(A^{-1})^{-1}=A$

5、逆的求法：

（1） $A$ 为抽象矩阵：由定义或性质求解

（2） $A$ 为数字矩阵： $(A|E)→初等行变换→(E|A^{-1})$

（3）如果 $A$ 是可逆矩阵，则可以通过伴随矩阵求解: $A^{-1}=\frac{1}{\left| A \right|}A^{\ast}$

矩阵的初等变换

6、初等行（列）变换定义：

（1）两行（列）互换；

（2）一行（列）乘非零常数 $c$ ;

（3）一行（列）乘 $k$ 加到另一行（列）;

7、初等矩阵：单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵；

8、初等变换与初等矩阵的性质：

（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵

（2）初等矩阵均为可逆矩阵，会有

$E_{ij}^{-1}=E_{ij} \kern{6pt} (i,j 两行互换)\\ E_{i}^{-1}(c)=E_{i}(1/c)\kern{6pt}(第 i 行(列)乘 c)\\ E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)\kern{6pt} (第 i 行乘 k 加到 j)$

矩阵的秩

9、秩的定义：非零子式的最高阶数；

注：

（1） $r(A)=0$ 意味着所有元素为 0，即 $A=〇$ ；

（2） $r(A_{n×n})=n(满秩)\leftrightarrow|A| ≠0\leftrightarrow A 可逆； r(A_{n×n})＜n\leftrightarrow |A|=0 \leftrightarrow A 不可逆；$

（3） $r(A)=r（r=1,2,,,n-1)\leftrightarrow r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0$ ;

10、秩的性质：

（1） $A$ 为 $m×n$ 阶矩阵，则 $r\left( A \right)\leq min\left( m,n \right)$ ;

（2） $r\left( A\pm B \right)\leq r\left( A \right)+r\left( B \right)$ ;

（3） $r\left( AB \right)\leq min\{ r(A),r(B)\}$ ;

（4） $r(kA)=r(A)（k≠0）$ ;

（5） $r(A)=r(AC)$ ( $C$ 是一个可逆矩阵) ；

（6） $r(A)=r(A^T)=r(A^TA)=r(AA^T)$ ；

（7）设 $A$ 是 $m×n$ 阶矩阵， $B$ 是 $n\times s$ 矩阵， $AB=O$ ，则 $r(A)+r(B)≤n$ ；

11、秩的求法：

（1） $A$ 为抽象矩阵：由定义或性质求解；

（2） $A$ 为数字矩阵： $A\rightarrow初等行变换 →阶梯型$ （每行第一个非零元素下面的元素均为 0），则 $r(A)=非零行的行数$ ；

伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质：

（1） $AA^*=A^*A=|A|E \rightarrow A^*=|A|A ^{-1}$

（2） $(kA)^*=k^{n-1}A^*$

（3） $(AB)^*=B^*A^*$

（4） $|A^*|=|A|^{n-1}$

（5） $(A ^T)^*=(A^*)^T$

（6） $(A^ {-1})^*=(A^*)^ {-1}=A|A| ^{-1}$

（7） $(A^*)^*=|A|^{(n-2)}·A$

（8） $r(A^*)=n(r(A)=n)； r(A^*)=1\kern{6pt}(r(A)=n-1)； r(A^*)=0 \kern{6pt}(r(A)＜n-1)$

分块矩阵

13、分块矩阵的乘法：要求前列后行分法相同；

14、分块矩阵求逆：

三、向量

向量的概念及运算

1、向量的内积： $(α,β)=α ^Tβ=β ^T α$ ；

2、长度定义： $\left| \left| \alpha \right| \right|=\sqrt{\left( \alpha,\alpha \right)}=\sqrt{\alpha^T\alpha}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdot\cdot\cdot+a_{n}^{2}}$ ；

3、正交定义： $(α,β)=α ^Tβ=β ^T α=a_1b_1+a_2b_2+,,, +a_nb_n=0$ ；

4、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵， $AA^T =E \leftrightarrow A^{-1}=A^T \leftrightarrow A^T A=E \leftrightarrow |A|= ±1$

线性组合和线性表示

5、线性表示的充要条件：非零列向量 $\beta$ 可由 $α_1,α_2,..., α_s$ 线性表示：

（1）非齐次线性方程组 $(α_1,α_2,...,α_s)\left( x_1,x_2,...,x_s \right)^T=\beta$ 有解；

（2） $r(α_1,α_2,...,α_s)=r(α_1,α_2,...,α_s,β)$ 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；

6、线性表示的充分条件：若 $α_1,α_2,...,α_s$ 线性无关， $α_1,α_2,...,α_s,β$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $α_1,α_2,...,α_s$ 线性表示。

7、线性表示的求法：

设 $α_1,α_2,...,α_s$ 线性无关， $\beta$ 可由其线性表示： $\left( α_1,α_2,...,α_s |\beta\right)\rightarrow$ 初等行变换 $\rightarrow$ （行最简形|系数）；

行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0；

线性相关和线性无关

8、线性相关注意事项：

（1） $\alpha$ 线性相关 $\leftrightarrow$ $\alpha=0$

（2） $α_1,α_2$ 线性相关 $\leftrightarrow$ $α_1,α_2$ 成比例

9、线性相关的充要条件：

向量组 $α_1,α_2,,,α_s$ 线性相关：

（1）有个向量可由其余向量线性表示；

（2）齐次方程 $(α_1,α_2,...,α_s)\left( x_1,x_2,...,x_s \right)^T=0$ 有非零解；

（3） $r(α_1,α_2,...,α_s)<s$ 即秩小于个数；

特别地， $n$ 个 $n$ 维列向量 $α_1,α_2,...,α_n$ 线性相关：

（1） $r(α_1,α_2,...,α_n)<n$

（2） $\left| α_1,α_2,...,α_s \right|=0$

（3） $\left( α_1,α_2,...,α_n \right)$ 不可逆

10、线性相关的充分条件：

（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关；

（2）部分相关，则整体相关；

（3）高维相关，则低维相关；

（4）以少表多，多必相关；

推论： $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。

11、线性无关的充要条件

向量组 $α_1,α_2,...,α_s$ 线性无关：

（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；

（2）齐次方程 $(α_1,α_2,...,α_s)\left( x_1,x_2,...,x_s \right)^T=0$ 只有零解；

（3） $r(α_1,α_2,...,α_s)=s$ ；

特别地， $n$ 个 $n$ 维向量 $α_1,α_2,...,α_n$ 线性无关，则 $r(α_1,α_2...,,α_n)=n$ ； $\left| α_1,α_2,...,α_n\right|\ne0$ ；矩阵 $(α_1,α_2,...,α_n)$ 可逆。

12、线性无关的充分条件：

（1）整体无关，部分无关；

（2）低维无关，高维无关；

（3）正交的非零向量组线性无关；

（4）不同特征值的特征向量无关；

13、线性相关、线性无关判定

（1）定义法；

（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关；

极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一；

15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩（矩阵的秩 :非零子式的最高阶数）；

注：向量组 $α_1,α_2,...,α_s$ 的秩与矩阵 $A=(α_1,α_2,...,α_s)$ 的秩相等；

16、极大线性无关组的求法

（1） $α_1,α_2,...,α_s$ 为抽象的：定义法

（2） $α_1,α_2,...,α_s$ 为数字的： $(α_1,α_2,...,α_s)\rightarrow$ 初等行变换 $\rightarrow$ 阶梯型矩阵，则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组；

向量空间

17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若 $α_1,α_2,...,α_n$ 与 $β_1,β_2,...,β_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两组基，则基变换公式为 $(β_1,β_2,...,β_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)\cdot C_{n\times n}$ ；其中， $C_{n\times n}$ 是从基式 $α_1,α_2,...,α_n$ 到 $β_1,β_2,...,β_n$ 的过渡矩阵： $C_{n\times n}= (α_1,α_2,...,α_n) ^{-1}\left( \beta_1,\beta_2,...,\beta_n \right)$ .

18、坐标变换公式：向量 $\gamma$ 在基 $α_1,α_2,...,α_n$ 与基 $β_1,β_2,...,β_n$ 的坐标分别为 $x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$ ， $y=(y_1,y_2,...,y_n)^T$ ，即 $\gamma=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+...+\alpha_{n}x_{n}=\beta_{1}y_{1}+\beta_2y_{2}+...+\beta_ny_{n}$ ，则坐标变换公式为 $x=Cy$ 或 $y=C^{-1}x$ 。其中， $C$ 是从基 $α_1,α_2,...,α_n$ 到 $β_1,β_2,...,β_n$ 的过渡矩阵， $C=\left( α_1,α_2,...,α_n \right)^{-1}\left( \beta_1, \beta_2,...,\beta_n\right)$ ；

Schmidt正交化

19、设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关：

（1）正交化

令 $\beta_1=\alpha_1$ ,则：

（2）单位化

四、线性方程组

方程组的表达形与解向量

1、解的形式：

（1）一般形式

（2）矩阵形式： $Ax=b$ ；

（3）向量形式： $A=(α_1，α_2, ...,α_n)$ ;

2、解的定义：若 $η=（c_1,c_2,...,c_n）^T$ 满足方程组 $Ax=b$ ，即 $A\eta=b$ ，称 $\eta$ 是 $Ax=b$ 的一个解(向量)；

解的判定与性质

3、齐次方程组：

（1）只有零解 —— $r(A)=n$ （ $n$ 为 $A$ 的列数或是未知数 x 的个数）

（2）有非零解 —— $r(A)<n$

4、非齐次方程组：

（1）无解 —— $r\left( A \right)<r\left( A|b \right)$

（2）唯一解 —— $r\left( A \right)=r\left( A|b \right)=n$

（3）无穷多解 —— $r\left( A \right)=r\left( A|b \right)<n$

5、解的性质：

（1）若 $\xi_1,\xi_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $k_1\xi_1+k_2ξ_2$ 是 $Ax=0$ 的解；

（2）若 $\xi$ 是 $Ax=0$ 的解， $\eta$ 是 $Ax=b$ 的解，则 $\xi+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解；

（3）若 $\eta_1,\eta_2$ 是 $Ax=b$ 的解，则 $\eta_1-\eta_2$ 是 $Ax=0$ 的解；

推广：

（1）设 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_s$ 是 $Ax=b$ 的解，则当 $\Sigma k_i=1$ , $k_1η_1+k_2η_2+,..., +k_sη_s$ 是 $Ax=b$ 的解；当 $\Sigma k_i = 0$ 是 $Ax=0$ 的解；

（2）设 $\eta_1,\eta_2,...,\eta_s$ 是 $Ax=b$ 的 $s$ 个线性无关的解，则 $\eta_2-\eta_1,\eta_3-\eta_1,...,\eta_s-\eta_1$ 为 $Ax=0$ 的 $s-1$ 个线性无关的解；

基础解系

6、基础解系定义：

（1） $\xi_1,\xi_2,...,\xi_s$ 是 $Ax=0$ 的解；

（2） $\xi_1,\xi_2,...,\xi_s$ 线性无关；

（3） $Ax=0$ 的所有解均可由其线性表示——基础解系即所有解的极大无关组；注：基础解系不唯一。任意 $n-r\left( A \right)$ 个线性无关的解均可作为基础解系；

7、重要结论：

设 $A$ 是 $m×n$ 阶矩阵， $B$ 是 $n×s$ 阶矩阵， $AB=O$

（1）B的列向量均为方程 $Ax=0$ 的解；

（2） $r(A)+r(B)≤n$ ;

8、基础解系的求法

（1） $A$ 为抽象的：由定义或性质凑 $n-r(A)$ 个线性无关的解

（2） $A$ 为数字的： $A$ $\rightarrow$ 初等行变换 $\rightarrow$ 阶梯型

解的结构（通解）

9、齐次线性方程组的通解（所有解）

设 $r(A)=r$ ， $ξ_{1}，ξ_{2},..., ξ_{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的基础解系，则 $Ax=0$ 的通解为 $k_1η_1+k_2η_2+... +k_{n-r}η_{n-r}$ （其中 $k_1,k_2,...k_{n-r}$ 为任意常数）;

10、非齐次线性方程组的通解

设 $r(A)=r$ ， $ξ_{1}，ξ_{2},..., ξ_{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的基础解系， $η$ 为 $Ax=b$ 的特解，则 $Ax=b$ 的通解为 $η+ k_1η_1+k_2η_2+, +k_{n-r}η_{n-r}$ （其中 $k_1,k_2,...,k_{n-r}$ 为任意常数）;

公共解与同解

11、公共解定义：如果 $\alpha$ 既是方程组 $Ax=0$ 的解，又是方程组 $Bx=0$ 的解，则称 $α$ 为其公共解；

12、非零公共解的充要条件：方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ ,

13、重要结论

（1）设 $A$ 是 $m×n$ 阶矩阵，则齐次方程 $A^TAx=0$ 与 $Ax=0$ 同解， $r(A^TA)=r(A)$ ；

（2）设 $A$ 是 $m×n$ 阶矩阵， $r(A)=n$ ， $B$ 是 $n×s$ 阶矩阵，则齐次方程 $ABx=0$ 与 $Bx=0$ 同解， $r(AB)=r(B)$ ；

五、特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在数 $\lambda$ 及非零列向量 $\alpha$ ，使得 $Aα=λα$ ，称 $α$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $λ$ 的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义： $| λE-A|$ 称为矩阵 $A$ 的特征多项式（ $λ$ 的 $n$ 次多项式）。 $| λE-A |=0$ 称为矩阵 $A$ 的特征方程（ $λ$ 的 $n$ 次方程）。注:特征方程可以写为 $|A- λE|=0$ ；

注：特征方程可以写为 $|A- λE|=0$

3、重要结论：

（1）若 $\alpha$ 为齐次方程 $Ax=0$ 的非零解，则 $Aα=0·α$ ，即 $α$ 为矩阵 $A$ 特征值 $λ=0$ 的特征向量；

（2） $A$ 的各行元素和为 $k$ ，则 $(1,1,...,1)^T$ 为特征值为 $k$ 的特征向量；

（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素；

4、特征值与特征向量的求法

（1） $A$ 为抽象的：由定义或性质求解；

（2） $A$ 为数字的：由特征方程法求解；

5、特征方程法

（1）解特征方程 $|A- λE|=0$ ，得矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 $λ_{1},λ_{2},...,λ_n$ ；注： $n$ 次方程必须有 $n$ 个根（可有多重根，写作 $λ1=λ2=, ...,=λs=实数$ ，不能省略）；

（2）解齐次方程 $(λ_{i}E-A)=0$ ，得属于特征值 $λ_{i}$ 的线性无关的特征向量，即其基础解系（共 $n-r(\lambda_{i}E-A)$ 个解）；

6、性质

（1）不同特征值的特征向量线性无关；

（2） $k$ 重特征值最多 $k$ 个线性无关的特征向量： $1≤n-r(λ_{i}E-A)≤k_{i}$ ；

（3）设 $A$ 的特征值为 $λ_1,λ_2,...,λ_n$ ，则 $\left| A \right|=\Pi\lambda_{i},\kern{4pt} \Sigma\lambda_{i}=\Sigma a_{ii}=tr(A)$ ；

（4）当 $r(A)=1$ ，即 $A=αβ^T$ ，其中 $α,β$ 均为 $n$ 维非零列向量，则 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\Sigma a_{ii}=\alpha\beta^T=\beta^T\alpha,\kern{4pt}\lambda_2=,...,=\lambda_n=0$ ；

相似矩阵

7、相似矩阵的定义：设 $A、B$ 均为 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1}AP$ ，称 $A$ 与 $B$ 相似，记作 $A\sim B$ ；

8、相似矩阵的性质：

（1）若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $f(A)$ 与 $f(B)$ 相似；

（2）若 $A$ 与 $B$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似，则 $A$ 与 $C$ 相似；

（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）；

（4）若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $AB$ 与 $BA$ 相似， $A^T$ 与 $B^T$ 相似， $A^{ -1}$ 与 $B^{ -1}$ 相似， $A^*$ 与 $B^*$ 也相似；

矩阵的相似对角化

9、相似对角化定义：

如果 $A$ 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 $P$ ，使得

称 A 可相似对角化。

注： $Aα_i=λ_iα_i（α_i≠0，由于 P 可逆）$ ，故 $P$ 的每一列均为矩阵 $A$ 的特征值 $λ_i$ 的特征向量；

10、相似对角化的充要条件

（1） $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；

（2） $A$ 的 $k$ 重特征值有 $k$ 个线性无关的特征向量；

11、相似对角化的充分条件：

（1） $A$ 有 $n$ 个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）；

（2） $A$ 为实对称矩阵；

12、重要结论：

（1）若 $A$ 可相似对角化，则 $r(A)$ 为非零特征值的个数， $n-r(A)$ 为零特征值的个数；

（2）若 $A$ 不可相似对角化， $r(A)$ 不一定为非零特征值的个数；

实对称矩阵

13、性质

（1）特征值全为实数；

（2）不同特征值的特征向量正交；

（3） $A$ 可相似对角化，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=Λ$ ；

（4） $A$ 可正交相似对角化，即存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Λ$ ；

六、二次型

二次型及其标准形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩阵形式（常用）： $Q\left( x \right)=x^TAx$

2、标准形：如果二次型只含平方项，即 $f(x_1,x_2,...,x_n)=d_1x_{1}^{2} +d_2x_{2}^{2}+,...,+d_nx_{n}^{2}$ 这样的二次型称为标准形（对角线）；

3、二次型化为标准形的方法：

（1）配方法：通过可逆线性变换 $x=Cy\kern{6pt}(C 可逆)$ ，将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

（2）正交变换法：通过正交变换 $x=Qy$ ，将二次型化为标准形 $λ_1y_{12} +λ_2y_{22} +,...,+λ_ny_{n2}$ ，其中， $λ_1，λ_2,...,λ_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值， $Q$ 为 $A$ 的正交矩阵；注：正交矩阵 $Q$ 不唯一， $γ_i$ 与 $λ_{i}$ 对应即可。