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副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行

2022-07-21 10:04:47 作者：互联网

副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行

前言：重在记录，可能出错。

1. 简而言之，可以用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行，直到行列式完全上下翻转。

但需要对n讨论奇偶。

2. 如果n是奇数，这种对换方法需要对换（变号）(n-1)/2次；如果n是偶数，则需要对换（变号）n/2次。列式，如下：

$D = {\begin{array}{l} (- 1)^{\frac{n}{2}} D_{1}, n 为偶数 ① \\ (- 1)^{\frac{n - 1}{2}} D_{1}, n 为奇数 ② D_{1} 为上三角形行列式 \end{array}$

3. 怎么统一？这里需要借用自然数的奇偶特性——奇数乘以一个自然数，结果不改变此自然数的奇偶性。

因此，我们给①式乘上一个奇数n-1，给②式乘上一个奇数n，不改变①、②式的值。列式，如下：

$D = {\begin{array}{l} (- 1)^{\frac{n}{2} ∙ (n - 1)} D_{1}, n 为偶数 ③ \\ (- 1)^{\frac{n - 1}{2} ∙ n} D_{1}, n 为奇数 ④ D_{1} 为上三角形行列式 \end{array}$

显然，③、④式在形式上已经统一，不再受n的奇偶性的影响，得到：

$D = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} D_{1} = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} ⸳ ⸳ ⸳ a_{n 1}$

4. 既然证明了这样求也行的，再说说其他的求法。

(1)、根据n阶行列式的定义—— $\sum (- 1)^{t} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} ⸳ ⸳ ⸳ a_{n p_{n}} t 为 p_{1} p_{1} ⸳ ⸳ ⸳ p_{n} 排列的逆序数$

类比上（下）三角形行列式值的推导，上式中不含0的项只有 $(- 1)^{t} a_{1 n} a_{2, n - 1} ⸳ ⸳ ⸳ a_{n_{1}}$

t=0+1+···+(n-1)=n(n-1)/2 　　等差数列求和

因此：

$D = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} D_{1} = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n - 1} ⸳ ⸳ ⸳ a_{n 1}$

(2)、转换过程既然是上下翻转，那就应该是乘以一个行列式上下翻转系数：将第n行反复进行相邻对换到首行需要n-1次，再将之后的行列式第n行反复进行相邻对换到次行需要n-2次，因此副三角形行列式反转成上（下）三角形行列式需要n(n-1)/2次（每次仅允许相邻对换）。符号最终为(-1)^[n(n-1)/2]。

(3)、使用代数余子式求行列式的值，层层拆开后发现，也还是副对角线的数相乘，然后求符号的正负，这个很简单，就不细说了。

标签：奇数,对换,次行,an1,三角形,行列式
来源： https://www.cnblogs.com/wsgxg/p/16500151.html