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群论：群的定义与阿贝尔群

2021-11-30 16:00:25 作者：互联网

1. 群 (Group) 的定义：

群 $G=\{...,g,...\}$ 就是定义了二元运算 $\bullet$ （称为群乘法）且满足下列条件的非空集合：

(1) 封闭性：对 $\forall g,g'\in G$ ，满足 $g\bullet g'\in G$ .

(2) 结合律：对 $\forall g_1,g_2,g_3 \in G$ ，满足 $(g_1\bullet g_2)\bullet g_3 = g_1\bullet (g_2\bullet g_3)$ .

(3) 单位元：存在唯一单位元素 $g_e$ 使得对 $\forall g \in G$ 由 $g_e \bullet g=g\bullet g_e=g$ .

(4) 逆元：对 $\forall g \in G$ 存在唯一逆元 $g^{-1}\in G$ 使得 $g^{-1}\bullet g=g\bullet g^{-1}=g_e$ .

可以看到群运算不要求满足交换律 $g_1\bullet g_2 = g_2\bullet g_1$ ，额外满足交换律的群被称为阿贝尔群（Abel Group）或交换群。

根据群中元素的个数分为有限群和无限群。

可以看到群是一个集合，而且必须要定义群乘法。

我们可以自己构建一个有限群：

$G={0,1,2,3}$ , $g_1\bullet g_2=e^{\frac\pi2i(g_1+g_2)}$

可知G一定满足封闭性、乘法的结合律，且单位元就是 $g=0$ ，任意元素的逆元表示为 $g^{-1}=(4-g)\ \textup{mod}\ 4$ 。

它同时还满足交换律，所以是一个阿贝尔群。

上述这个有限群的乘法实质上还是加法，所以要注意群乘法并不是必须是数学上的乘法，它只是定义一种二元运算，可以不是乘法，也可以很复杂。

所以，还能定义一个有限模加群，即：

$G={0,1,2,3}$ , $g_1\bullet g_2=(g_1+g_2)\textup{mod}\ 4$

其性质与第一个定义的有限复数乘法群完全相同。

当然还有一些重要的无限群，如整数加群、非零实数乘法群等。

标签：交换律,定义,满足,逆元,群论,阿贝尔,乘法
来源： https://blog.csdn.net/a493823882/article/details/121633457