拉格朗日对偶问题 Lagrange duality

拉格朗日对偶问题

前情提要：拉格朗日函数

$L(x,\lambda,\nu)=f_0(x)+\sum \lambda_i f_i(x)+\sum \nu_i h_i(x)$       　   对偶函数：$g(\lambda,\nu)=\min_x L(x,\lambda,\nu)$

原问题为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对偶问题

$\min_x \max_{\lambda,\nu} L(x,\lambda,\nu)\\$　　　　　　　　　　   　　　　$\max_{\lambda,\nu}g(\lambda,\nu)=\max_{\lambda,\nu} \min_x L(x,\lambda,\nu)$　　　　　　

$s.t. \lambda \ge 0$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$s.t. \lambda \ge 0$

对偶问题转化为约束形式

$\max_{\lambda,\nu} g(\lambda,\nu)$

$s.t. \nabla_xL(x,\lambda,\nu)=0$

      $\lambda \ge 0$

对偶问题也可写作有约束条件的形式

原问题和对偶问题的关系

所以原问题的解$\ge$对偶问题的解

那么问题来了，何时原问题才能和对偶问题有相同的解呢？

问题简化

首先，先将问题简化一下

注意，此时原问题中$x$的可行域(feasible region)在约束空间中，而对偶问题中的$x$无约束

所以$G_1 \subseteq G_2$

这样简化之后就可以从图像上直观的表示出来，其中可以把$t$看作$y$，把$u$看作$x$，那么就可以表示成一个线性函数

图像直观理解原问题和对偶问题

因为$u \le 0$，所以$G_1$在左半部分，而假设$G_2$是整个蓝线围成的域

原问题找到最小值即为$P^*$

对偶问题先对于$x$找函数的最小值，再通过调整斜率，找到对于$\lambda$变量，函数的最大值

有两点需要注意

• 因为$\lambda \ge 0$，而函数的斜率为$-\lambda^T$，所以斜率必然$\le$0
• 要与左边相切且与右边相切才能满足最大最小条件

这里不太理解，先调整$x$得到最小值，再调整$\lambda$使函数最大，此时$x$已为定值，调整$\lambda$后还与右边相切吗？

「这个过程是在每个固定斜率下求最小截距，然后从在不同斜率下求得的最小截距中找最大的」具体见这篇博客

 

直线的截距$D^*$即为对偶问题的解

从图像也可看出原问题的解大于等于对偶问题的解，这种关系其实是一种若对偶关系

那么什么条件下原问题和对偶问题是等价的呢？

强对偶关系

 

 

不难想象，可行域的范围是一个凸集时，两值相等（注意：斜率一定$\le 0$）

但是，$G$为凸集只是强对偶的充分非必要条件

比如下图的可行域范围是非凸集，但原问题和对偶问题依然等价

Slater条件

只有满足了Slater条件，凸优化问题才是强对偶问题，是充分条件

KKT条件

KKT条件是强对偶问题的必要条件

 

 

 如果$x$在可行域内，$g_i(x)$是松弛的，此时的$g_i(x)<0$，$\lambda_i=0, \lambda_ig(i)=0$

 如果最小值点不在可行域内，那么极值点在边界上，$g_i(x)=0$，$\lambda_ig(i)=0$

上述的紧致和松弛也就对应着前面强对偶关系的两种情况的图像

对偶问题一定是凸优化问题

格朗日对偶函数是凹函数，证明看这个链接，凹函数属于凸优化问题

应用

最后再回到机器学习的应用中

在求最大熵的时候，就是将原问题转化为对偶问题处理的

转化成对偶问题，先将P的形式定下来，就是确定了模型，然后再调整$\lambda$，也就是调参的过程

但在神经网络中，由于有隐藏层的存在，调整参数$\lambda$后，$x,y$的值不再是已经确定的了，还要重新计算，所以求最小值的过程其实与最大化相互耦合

所以从整体来看并不是凸优化问题，但通过反向传播，在最后的输出层上形成一个局部的凸优化问题

神经网络相当于一个筛选器，把现实中非凸优化的问题转化成凸优化问题，通过隐藏层只留下凸优化的因素，送到最后的输出层

未完待续。。。还有几点不太清楚

 

标签：拉格朗,duality,问题,斜率,ge,Lagrange,对偶,nu,lambda
来源： https://www.cnblogs.com/xiaoqian-shen/p/15439818.html