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序列的极限
现在我们来用真正的、关于实数序列的极限来代替形式极限，这将是我们构造实数系的最后一步。 6.1 收敛及极限的算律 我们将重述第四章和第五章中提到的概念，但这些概念将由对有理数定义转为对实数定义。 定义 6.1.1（距离）：定义两个实数 \(x\) 和 \(y\) 的距离为 \(|x-y|\)，记作 \(d(x,y)实数
回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 \(\mathbb N\)、整数系 \(\mathbb Z\) 和有理数系 \(\mathbb Q\)。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。 实数无法用有理数来2022-7-26 #18 CF1458E
昨天也很摆$e^x\geqslant$$x$$+$$1$和 $x-1\geqslant\ln x$ 的来龙去脉和应用
前言 【2022届高三数学二轮用题】 若函数 \(f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-1(a>0)\) 在 \(x=0\) 处取得极值。 (1)求 \(a\) 的值， 并判断该极值是函数的最大值还是最小值； 解: 因为 \(x=0\) 是函数的极值点， 所以 \(f^{\prime}(0)=0\)， 因为 \(f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a\)， 所以 \(f^{端点效应不端点(2020全国卷I)
2020全国卷I第21题(2) 当\(x\geqslant 0\)时，\(\text{e}^x+ax^2-x\geqslant \frac{1}{2}x^3+1\)，求\(a\)的取值范围。 我们的问题是该题改为：当\(x\in\textbf{R}\)时，\(\text{e}^x+ax^2-x\geqslant \frac{1}{2}x^3+1\)，求\(a\)的取值范围。 结果依旧，为什么高考中要加“当\(x\geqslantCF1234A Equalize Prices Again 题解
Content 有 \(n\) 个商品，第 \(i\) 个商品价值为 \(a_i\)，求能够将所有商品卖出后不亏本且赚的钱最少（可以不赚）的价格（必须为整数）。 数据范围：\(q\) 组数据。\(1\leqslant q\leqslant 100,1\leqslant n\leqslant 100,1\leqslant a_i\leqslant 10^7\)。 Solution 这题的结论是比较显然的CF415A Mashmokh and Lights 题解
Content 有 \(n\) 个灯，一开始都是亮着的。 有 \(m\) 次操作，每次操作按下开关 \(x\)，按下之后所有编号 \(\geqslant x\) 的灯全部熄灭。问你所有的灯第一次被熄灭时的开关编号。 数据范围：\(1\leqslant n,m\leqslant 100,1\leqslant x\leqslant n\)。 Solution 我们可以弄一个数组，每CF675A Infinite Sequence 题解
Content 给定三个整数 \(a,b,c\)，问你 \(b\) 是否在以 \(a\) 为首项，公差为 \(c\) 的等差数列中。 数据范围：\(-10^9\leqslant a,b,c\leqslant 10^9\)。 Solution 给出两个定理：设 \(x_n\) 在以 \(x_1\) 为首项，公差为 \(d(d\neq 0)\) 的等差数列中，那么就有： \(1.\) \(d\mid (x_n-x_1)\)二阶导的使用情形
前言 使用情形 情形一：二阶导全为正(或负)，就能判断一阶导的增(或减)，且端点值为正或刚好为\(0\)，这样一阶导就是全为正(或全为负)的情形，于是就能判断原函数的单调性了； 【改编】已知函数 \(f(x)=\cfrac{2\ln x}{x}+\cfrac{1}{2}ax-2a-1(a>0)\)，当 \(a=2\) 时， 求证： \(f(x)\) 在 \([1最大中位数问题
题目：CF1486D Max Median 即给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(\{a\}\)，求所有长度 \(\geqslant k\) 的子串中，中位数的最大值。 请记住一个套路：二分中位数答案并将原序列按与中位数的大小关系分为两部分。 sol: 在 \(a\) 的值域内二分答案 \(x\)，\(check\) 一下答案是否能大于等于 \(x\)函数在端点处为零的端点效应
函数在端点处为零的端点效应 端点效应是将端点代入函数中以缩小参数的取值范围。若函数在端点处的值为 0 0 0，则我们无法通过这个端点来缩小参数的取值范围，这似乎意味着此时20210614 什么是状态？什么是状态空间？
状态变量：能够唯一地确定系统再时间域中行为地一组相互独立且数目最少地变量，即只要给定这组变量和 t ⩾ t 0随机题解 3
CF1268D - Invertation in Tournament 给定 \(n\) 个点的竞赛图，每次操作可以反转一个点的所有边的方向，问最少操作多少次使得图强连通。\(n\leqslant 2000\)。 考虑一些性质。 引理：对于 \(n\geqslant 4\) 的强连通竞赛图，存在 \(n-1\) 阶子强连通竞赛图。 证明：考虑任意拎出一个点，不从知乎摘录的不等式练习
1、https://www.zhihu.com/question/407378721/answer/1377456629 \(a,b,c\in[0,1]\)，求\((1-a+ab)^2+(a-b+bc)^2+(1-c+ca)^2\)的最小值 证明：置\(x=a-ab,y=b-bc,z=c-ca\),则\(x,y,z\in[0,1]\) \[1-x-y-z=abc+(1-a)(1-b)(1-c)\geqslant 0 \]\[xy+yz+zx=ab(1-a)(1-c)+bc(1-【题解】Chocolate [Uva1305] [Poj1322]
【题解】Chocolate [Uva1305] [Poj1322] 传送门：\(\text{Chocolate [Uva1305]}\) \(\text{[Poj1322]}\) 【题目描述】 有 \(c\) \((c\leqslant 100)\) 种颜色的小球若干，每次从中任取一个放在桌上，若桌上有与它颜色相同的其他小球，则把两个都丢掉。求取 \(n\) \((n\leqslant 10^6)\)三角函数值域的妙用
前言 我们都知道，\(\sin x\in [-1,1]\)，\(\cos x\in [-1,1]\)，但是很少能将其和导数主动融合在一起。 案例分析 比如，函数\(f(x)=\sin x+x\)，在判断函数的单调性时，许多学生会想到用两个函数的图像叠合的方法求解，其实这个思路是错误的，\(y=x\)是单调递增的，但是\(y=\sin x\)是有增有减的，故初中|代数辅导
前言 典例剖析 在初中阶段，常用的非负式子有二次式，二次根式，绝对值式；其实也就是分别考查\(y=x^2\geqslant 0\)，\(y=\sqrt{x}\geqslant 0\)，\(y=|x|\geqslant 0\)的非负性的应用， 案例1已知\((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0\)，求\(2x+y\)的值； 分析：由于\((x+y-3)^2+3|x-y-1|=0\)， 且\((x+y-3)^2\ge每日博客_191128
已知\(\forall x>0,x\mathrm{e}^{2x}-kx-{\ln}x-1\geqslant 0\),求实数\(k\)的取值范围. 解析: 法一 原不等式等价于\[\forall x>0, k\leqslant \dfrac{1}{x}\cdot\left(x\mathrm{e}^{2x}-{\ln}x-1\right)= \dfrac{1}{x}\cdot\left(\mathrm{e}^{2x+{\ln}x}-{\ln}x-1POJ - 2976 Dropping tests (01分数规划)
终于把01分数规划这个坑填上了。 题意是有二维平面上的n个向量$(a_i,b_i)$，让你选择其中的m个，使得这些向量和的斜率，即$\frac{\sum a_i}{\sum b_i}$最小。 二分斜率，设$\frac{\sum a_i}{\sum b_i}\geqslant k$，即$\sum a_i\geqslant \sum kb_i$，即$\sum a_i-kb_i\geqslant 0$，选择$a_