三角函数值域的妙用

前言

我们都知道，\(\sin x\in [-1,1]\)，\(\cos x\in [-1,1]\)，但是很少能将其和导数主动融合在一起。

案例分析

比如，函数\(f(x)=\sin x+x\)，在判断函数的单调性时，许多学生会想到用两个函数的图像叠合的方法求解，其实这个思路是错误的，\(y=x\)是单调递增的，但是\(y=\sin x\)是有增有减的，故使用这个方法是说不清楚的；

换个思路，\(f'(x)=1+\cos x\)，那么由于\(\cos x\in [-1,1]\)，则\(1+\cos x\in [0,2]\)，

故能很容易得到，\(f'(x)\geqslant 0\)恒成立，故函数\(f(x)=\sin x+x\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的；

常见函数

\(f(x)=x\pm \sin x\)，则\(f'(x)\geqslant 0\)；故函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的；

\(f(x)=x\pm \cos x\)，则\(f'(x)\geqslant 0\)；故函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的；

\(f(x)=3x\pm 2\sin x\)，则\(f'(x)\geqslant 0\)；故函数\(f(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的；

标签：infty,cos,函数,三角函数,妙用,值域,geqslant,sin,单调
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