从知乎摘录的不等式练习

1、https://www.zhihu.com/question/407378721/answer/1377456629
\(a,b,c\in[0,1]\)，求\((1-a+ab)^2+(a-b+bc)^2+(1-c+ca)^2\)的最小值
证明：置\(x=a-ab,y=b-bc,z=c-ca\),则\(x,y,z\in[0,1]\)

\[1-x-y-z=abc+(1-a)(1-b)(1-c)\geqslant 0 \]

\[xy+yz+zx=ab(1-a)(1-c)+bc(1-b)(1-a)+ca(1-b)(1-b)\leqslant \frac{1}{4}[a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)]=\frac{1}{4} x+y+z\leqslant \frac{1}{4} \]

\[L.H.S-\frac{3}{2}==(x^2+y^2+z^2)-2(x+y+z)+\frac{3}{2}\geqslant (x+y+z-1)^2\geqslant 0 \]

等号成立可以\(a=0,b=1/2,c=1\)

标签：ab,frac,不等式,bc,ca,geqslant,知乎,leqslant,摘录
来源： https://www.cnblogs.com/Math-Nav/p/13424327.html