实数

回顾一下，我们已经严格地构造了三个基本的数系：自然数系 \(\mathbb N\)、整数系 \(\mathbb Z\) 和有理数系 \(\mathbb Q\)。这些数已经足够用来做大量的数学事项。但是这还是不够用的，例如在微积分学、三角学甚至几何学中。所以人们需要用实数系来取代有理数系。

实数无法用有理数来表示，但是却明确地处于有理数之间的某个 “空隙” 中：例如 \(\sqrt 2\)，你任意说一个有理数 \(q\)，我都能说 \(q\) 比 \(\sqrt2\) 大还是小，我只需比较 \(q^2\) 和 \(2\) 的大小关系。实数没有明显的规律，我们不能仅通过引入 \(\sqrt[p]{q}\) 之类的符号就能构造所有的实数（我们也不能通过 “方程的根” 来定义实数，因为超越数如 \(\pi\) 等的存在）。种种限制下，柯西找到了从有理数定义实数的一个好方法：“取无限有理数序列的极限”。这就好像我们用二分法或者牛顿迭代法确定 \(\sqrt 2\)，无限地进行下去，我们就能用有理数无限地逼近它，虽然不会达到它。

这种 “取有理数序列的极限” 的运算，就像形式减法一样，不仅能在有理数上进行，在实数域上进行也是封闭的，所以下面的一些定义都会加上 ”形式“。而对于 “取无限实数序列的极限”，我们将在第 6 章再继续详谈。

我们接下来将详细阐述这种方法。我们先理解 “极限” 是什么：序列可能并不会达到目标（比如有理数序列最后怎么样也不可能达到 \(\sqrt 2\)），但如果序列的趋势是不断接近那个目标的，那么我们就说序列的极限就是那个目标。或者说，如果存在序列的这种不断接近目标的趋势，我们就把那个目标看成序列的极限。

我们再来理解怎么对 “趋势” 进行描述：一般来说，我们会设置一个阈值（范围）\(B\)，然后看序列是否存在一个后缀，使得这个后缀和目标的差距在 \(B\) 之内。然后我们说，如果对于任意小但是不为零的 \(B\)（这里 \(B\) 等于零只是代表该后缀和目标完全相同），都能找到这么一个后缀，那么该序列的趋势就是不断接近于目标的。

作为例子，我么可以定义 “趋于一致”：我们给序列赋予一个振荡度，可以暂时理解为序列的最大值和最小值的差。那么如果该序列的振荡度是趋向于 \(0\) 的，我们就说该序列的极限是所有数都相等的，即 “趋于一致” 的。

我们也可以定义 “收敛到 \(L\)”：我们给序列赋予一个差距值，可以暂时理解为序列中所有数与 \(L\) 的差值的最大值。那么如果该序列的差距值是趋向于 \(0\) 的，我们就说该序列的极限是所有数都等于 \(L\)，即 “收敛到 \(L\)”。

从上述两个定义中关于序列的 “极限” 的定义可以直观地看出，一个序列是 “趋于一致” 的当且仅当该序列 “收敛到某数 \(L\)”。这在第 6 章中有具体的体现，即柯西序列的定义和收敛序列的定义是等价的。

上述的理解 “极限” 的想法在第 5 章和第 6 章的很多定义上都适用。

除此之外，我还非常建议你把序列理解成二维的，即把 \((n,a_n)\) 都标在平面上。这样 “趋于一致”、“收敛到 \(L\)” 和 “极限” 等名词都会更加形象，而且十分有助于你想本文中命题的证明。

由于定义实数需要较长的篇幅，我们将给出第 5 章和第 6 章的总体的概览：

在本章（第 5 章）中，我们将先定义形式柯西序列（因为历史遗留问题，真正的章节中没有加上 “形式” 二字），即 “趋于稳定” 的有理数序列，并定义形式柯西序列的形式极限就是实数（注意不能定义说 “收敛到某实数 \(L\)” 的有理数序列的极限就是实数，这将导致循环定义）。然后显然收敛到同一个实数的形式柯西序列不可能只有一个，所以我们还需定义序列的形式等价。同时，为了建起有理数和实数间的桥梁，我们还需把有理数通过预期的方式相容于实数中。

接着，我们将按照预期的结果，在形式柯西序列上定义实数的加法、乘法、负运算、减法、倒数、除法、正负性和序等。过程中，我们也需证明有理数的这些运算也能相容于实数中。

第 5 章的最后，我们将投入实数最基本的应用中——构造出实数的有理数次幂（如 \(\sqrt 2\)），这将用到实数的界和确界的概念以及确界原理。确界原理这体现了无限逼近这一思想方法的优点。

在第 6 章中，我们将会把取极限应用于实数序列上。这时我们才定义真正的柯西序列、序列等价和极限，而非形式的。我们会证明把极限应用于实数序列上也是正确且封闭的，即任意实数版的柯西序列也收敛，且收敛到实数上。接着，我们会完善极限这一定义在实数上的新运算，补充一些极限算律。

接下来，我们将介绍极限点（更广义的 “极限”）、上下极限和子序列。它们一方面是 “极限” 该概念的扩展和延伸，一方面是计算极限的有力工具：它们将导出许多很有用的结论。

最后，我们将构造出实数的实数次幂，以最终结束实数的构造和基本应用的补全。

5.1 柯西序列

实数的构造将依赖于柯西序列的概念。而在定义柯西序列之前，我们先来做一些铺垫。

• 定义 5.1.1（序列）：设 \(m\) 是整数。一个有理数的无限序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是一个从 \(\{n\in \mathbb Z:n\geqslant m\}\) 到 \(\mathbb Q\) 的映射，其中 \(n\) 映射到 \(a_n\)。

  而有限序列的概念我们也类似地在 3.5.3 中定义过了。

本章中，除特殊标明，我们所说的 “序列” 一般指的都是 “有理数序列”。

• 定义 5.1.2（\(\varepsilon\) 稳定性）：设有理数 \(\varepsilon>0\)，称一个序列 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\) 稳定的，当且仅当对于任意 \(j,k\geqslant N\)，\(d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon\)。
• 定义 5.1.3（终极 \(\varepsilon\) 稳定性）：设有理数 \(\varepsilon>0\)，称一个序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是终极 \(\varepsilon\) 稳定的，当且仅当存在 \(N\geqslant m\)，使得序列 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\) 稳定的。

接下来，让我们定义柯西序列。

• 定义 5.1.4（柯西序列）：称一个序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 \(\varepsilon>0\)，该序列都是终极 \(\varepsilon\) 稳定的。

  更直接地，序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是柯西序列，当且仅当对于任意有理数 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\geqslant m\) 使得对于任意 \(j,k\geqslant N\) 有 \(d(a_j,a_k)\leqslant \varepsilon\)。

可以注意到，柯西序列可以直接定义，但定义 5.1.2 和 5.1.3 的目的是为了帮助你更好地理解柯西序列的内涵。

我们给出一个例子：

• 命题 5.1.5：由 \(a_n:=1/n\) 定义的序列 \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) 是柯西序列。

  证明：设 \(\varepsilon>0\) 是任意正有理数，那么我们要找到 \(N\geqslant 1\)，使得对于任意 \(j,k\geqslant N\)，\(|1/j-1/k|\leqslant \varepsilon\)。

  注意到 \(0<1/j,1/k\leqslant 1/N\)，那么 \(|1/j-1/k|<1/N\)，故只需要 \(1/N\leqslant \varepsilon\) 即 \(N\geqslant1/\varepsilon\) 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 \(N\)。

我们现在建立另一个基本概念：有界序列。序列有界是非常好的性质，往后的许多证明都将用到。

• 定义 5.1.6（有界序列）：设有理数 \(M\geqslant 0\)。一个有限序列 \((a_n)_{n=m}^N\) 是以 \(M\) 为界的，当且仅当对于任意 \(m\leqslant n\leqslant N\) 有 \(|a_n|\leqslant M\)。一个无限序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是以 \(M\) 为界的，当且仅当对于任意 \(n\geqslant m\) 有 \(|a_n|\leqslant M\)。

  称一个序列是有界的，当且仅当存在有理数 \(M\geqslant 0\) 使得该序列是以 \(M\) 为界的。

• 引理 5.1.7（有限序列是有界的）：任何有限（有理数）序列 \((a_n)_{n=m}^N\) 都是有界的。

  证明：固定 \(m\) 而对 \(N\) 归纳。

• 引理 5.1.8（柯西序列是有界的）：任意柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 都是有界的。

  证明：任取有理数 \(\varepsilon>0\)，那么存在一个自然数 \(N\geqslant m\)，使得序列 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\) 稳定的。

  考虑有限序列 \((a_n)_{n=m}^N\)，根据引理 5.1.7 可知它是有界的，不妨设它是以 \(M\) 为界的。

  对于任意 \(n\geqslant N\)，由于 \(|a_N|\leqslant M\)，\(|a_n-a_N|\leqslant \varepsilon\)，那么 \(|a_n|\leqslant M+\varepsilon\)。

  于是可以证明，原序列是以 \(M+\varepsilon\) 为界的，那么原序列是有界的。

注意有界序列不一定是柯西序列，例如 \(a_n:=(-1)^n\)。

5.2 等价的柯西序列

我们的想法是要把实数定义为柯西序列的 “极限”，那么我们就必须先定义何时两个柯西序列给出同样的 “极限”。

• 定义 5.2.1（\(\varepsilon\) 接近序列）：设有理数 \(\varepsilon>0\)，设 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 是两个序列，称序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\overline{\ }\) 接近于序列 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 的，当且仅当对于任意 \(n\geqslant m\)，\(d(a_n,b_n)\leqslant\varepsilon\)。

• 定义 5.2.2（终极 \(\varepsilon\) 接近序列）：设有理数 \(\varepsilon>0\)，设 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m_b}^{\infty}\) 是两个序列，并记 \(m=\max(m_a,m_b)\)。称序列 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\) 是终极 \(\varepsilon\overline{\ }\) 接近于序列 \((b_n)_{n=m_b}^{\infty}\) 的，当且仅当存在 \(N\geqslant m\)，使得 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\) 接近于 \((b_n)_{n=N}^{\infty}\) 的。

根据定义，若 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m_b}^{\infty}\) 是终极 \(\varepsilon\) 接近的，那么对于任意 \(N'\geqslant m\)，都存在 \(N\geqslant N'\) 使得 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=N}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\) 接近的。

• 定义 5.2.3（等价的序列）：称两个序列 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m_b}^{\infty}\) 是等价的（记作 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}\)），当且仅当对于任意有理数 \(\varepsilon >0\)，它们都是终极 \(\varepsilon\) 接近的。

  更直接地，序列 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m_b}^{\infty}\) 是等价的（记 \(m=\max(m_a,m_b)\)），当且仅当对于任意有理数 \(\varepsilon>0\)，存在 \(N\geqslant m\) 使得对于任意 \(n\geqslant N\) 有 \(d(a_n,b_n)\leqslant \varepsilon\)。

同样地，定义 5.2.1 和 5.2.2 也是为帮助你更好地理解序列等价的内涵所用。

• 命题 5.2.4（序列等价的基本性质）：序列等价满足自反性、对称性、传递性。

  证明：前两者易证，只证传递性。设序列 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty},(b_n)_{n=m_b}^{\infty},(c_n)_{n=m_c}^{\infty}\)，其中 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty}\sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}\) 且 \((b_n)_{n=m_b}^{\infty}\sim(c_n)_{n=m_c}^{\infty}\)。设 \(m=\max\{m_a,m_b,m_c\}\)。

  设 \(\varepsilon>0\) 是任意正有理数，那么找到一个 \(N\geqslant m\) 使得 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 和 \((c_n)_{n=N}^{\infty}\) 是 \(\varepsilon\overline{\ }\) 接近的即可。

  根据假设，存在 \(N_1\geqslant m\) 使得 \((a_n)_{n=N_1}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=N_1}^{\infty}\) 是 \(\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }\) 接近的，存在 \(N_2\geqslant m\) 使得 \((b_n)_{n=N_2}^{\infty}\) 和 \((c_n)_{n=N_2}^{\infty}\) 也是 \(\frac{\varepsilon}{2}\overline{\ }\) 接近的。那么取 \(N=\max(N_1,N_2)\) 即可。

• 引理 5.2.5：设序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\)，那么对于任意 \(m'\geqslant m\)，\((a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(a_n)_{n=m'}^{\infty}\)。

我们给出一个例子：

• 命题 5.2.6：由 \(a_n:=1+10^{-n}\) 和 \(b_n:=1-10^{-n}\) 定义的序列 \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=1}^{\infty}\) 是等价的。

  证明：设 \(\varepsilon >0\) 是任意正有理数，那么我们要找到 \(N\geqslant 1\)，使得对于任意 \(n\geqslant N\)，\(|a_n-b_n|\leqslant \varepsilon\)。

  注意到 \(|a_n-b_n|=2\times 10^{-n}\leqslant 2\times 10^{-N}\)，故只需要 \(2\times 10^{-N}\leqslant\varepsilon\)。我们还不曾定义对数，但我们可以找一个更宽松的合法解：可以用归纳证明对于任意正数 \(N\) 有 \(10^N\geqslant N\) 即 \(10^{-N}\leqslant 1/N\)，于是我们只需 \(2/N\leqslant \varepsilon\) 即 \(N\geqslant \frac{2}{\varepsilon}\) 即可，根据命题 4.5.1 我们一定能找到这样的 \(N\)。

5.3 实数的构造

现在我们引入形式极限，然后用柯西序列的形式极限定义实数。

• 定义 5.3.1（实数）：对于任意柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\)，都存在一个实数 \(\operatorname{LIM}_{n\to\infty}a_n\)，称为 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 的形式极限。

  定义两个实数 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\) 和 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\) 是相等的，当且仅当 \((a_n)_{n=m_a}^{\infty} \sim (b_n)_{n=m_b}^{\infty}\)。

  注意到，符号 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\) 并未关注 \(m\)，这是因为根据引理 5.2.5，无论 \(m\) 是多少，\(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\) 总是相同的。那么不失一般性地，我们都认为 \(a\) 序列的下标从某个整数 \(m\) 开始。

  全体实数的集合记作 \(\mathbb{R}\)。

实数集的定义也不需要公理：先利用幂集公理得到所有有理数序列 \(\bigcup_{m\in\mathbb Z}\mathbb{Q}^{\{n\in\mathbb Z:n\geqslant m\}}\)，再通过分类公理得到所有柯西序列构成的集合，再像定义整数集那样，定义所有柯西序列定价类（一个实数是一个柯西序列等价类）构成的集合，即为实数集。

根据序列等价的基本性质，我们知道实数相等也满足自反性、对称性和传递性。

依照预期的结果，我们来定义实数的运算：

• 定义 5.3.2（实数的加法）：设实数 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)，\(y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，定义它们的和为 \(x+y:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(a_n+b_n)\)。

  证明：类似命题 5.2.4 的证明（将 \(|(a_i+b_i)-(a_j+b_j)|\) 拆成 \(|a_i-a_j|+|b_i-b_j|\)），可以证明序列 \((a_n+b_n)_{n=m}^{\infty}\) 也是柯西序列，故该定义是合法的。

• 命题 5.3.3（实数关于加法遵从代入公理）：设实数 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)，\(x'=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a'_n\)，\(y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，且 \(x=x'\)，那么 \(x+y=x'+y\)。

  证明：设 \(\varepsilon>0\) 是任意正有理数。根据假设，存在 \(N\geqslant m\) 使得对于任意 \(n\geqslant N\) 有 \(d(a_n,a'_n)\leqslant\varepsilon\)，那么也有 \(d(a_n+b_n,a'_n+b_n)\leqslant\varepsilon\)，证毕。

• 定义 5.3.4（实数的乘法）：设实数 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)，\(y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，定义它们的乘积为 \(xy:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(a_nb_n)\)。

  证明：根据引理 5.1.8，\((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 都是有界的，不妨设分别以有理数 \(M_a>0,M_b>0\) 为界。那么对于任意的 \(n\geqslant 1\)，\(|a_n|\leqslant M_a,|b_n|\leqslant M_b\)。

  设 \(\varepsilon>0\) 为任意正实数，我们要找到 \(N\geqslant m\) 使得对于任意 \(i,j\geqslant N\)，\(d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \varepsilon\)。

  根据命题 4.5.2，存在有理数 \(\delta_a\) 满足 \(0<\delta_a<\frac{\varepsilon}{M_b}\)，可得此时 \(\varepsilon-\delta_aM_b>0\)。

  根据命题 4.5.2，存在有理数 \(\delta_b\) 满足 \(0<\delta_b<\frac{\varepsilon-\delta_a M_b}{M_a+\delta_a}\)，可得此时 \(\delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon\)。

  根据假设， 存在 \(N_a\geqslant m\) 使得对于任意 \(i,j\geqslant N_a\)，\(d(a_i,a_j)\leqslant \delta_a\)；存在 \(N_b\geqslant m\) 使得对于任意 \(i,j\geqslant N_b\)，\(d(b_i,b_j)\leqslant \delta_b\)。

  取 \(N=\max(N_a,N_b)\)，那么对于任意 \(i,j\geqslant N\)，根据命题 4.3.5.9，\(d(a_ib_i,a_jb_j)\leqslant \delta_a|b_i|+\delta_b|a_i|+\delta_a\delta_b\leqslant \delta_aM_b+\delta_bM_a+\delta_a\delta_b<\varepsilon\)。故此 \(N\) 合法。

• 命题 5.3.5（实数关于乘法遵从代入公理）：设实数 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)，\(x'=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a'_n\)，\(y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，且 \(x=x'\)，那么 \(xy=x'y\)。

  证明：根据引理 5.1.8，\((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 是有界的，不妨设以 \(M>0\) 为界。

  设 \(\varepsilon>0\) 为任意正实数。根据假设，存在 \(N\geqslant m\) 使得对于任意 \(n\geqslant N\)，\(d(a_n,a'_n)\leqslant \varepsilon/M\)，那么 \(d(a_nb_n,a'_nb_n)=d(a_n,a'_n)|b_n|\leqslant \varepsilon\)，证毕。

我们还需将有理数嵌入到实数集合中，方法是把有理数 \(q\) 等同于实数 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}q\)。容易验证，这个嵌入和我们之前定义的实数的相等、加法和乘法的概念是相容的（注意，这意味着，对于那些被我们等同于有理数的实数，它们已经满足命题 4.2.5 中所述的代数算律了）。

有理数嵌入实数之后，我们可以方便地补充更多的运算：

• 定义 5.3.6（实数的负运算）：定义实数的负运算为 \(-x:=(-1)\times x\)。
• 定义 5.3.7（实数的减法）：定义实数的减法为 \(x-y:=x+(-y)\)。

当然，利用柯西序列的变换来实现上述定义也是等价的，但不能自然地得到代入公理（而需要重新证明）。

现在让我们来定义倒数。类似地，一个直接的想法是定义 \((\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n)^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\)。当然，我们还要保证 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty} a_n\neq 0\)。

但这样定义还是会出现一些问题，如柯西序列 \(\langle 0,1,1,\cdots\rangle\) 的形式极限为 \(1\neq 0\)，但我们没法把该序列的第一个数 \(0\) 倒过来。

为避免这类问题，我们引入一个新的概念。

• 定义 5.3.8（远离零的序列）：称一个序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是远离零的，当且仅当存在有理数 \(c>0\)，使得对于一切 \(n\geqslant m\)，\(|a_n|\geqslant c\)。

注意，这和 “对于一切 \(n\geqslant m\)，\(|a_n|>0\)” 不等价，如序列 \(a_n:=\frac{1}{n}\) 就不是远离零的序列。注意，两序列等价并不蕴含两序列关于 “远离零” 相同，如序列 \(\langle0,1,1,\cdots\rangle\) 和 \(\langle1,1,\cdots\rangle\)。

下面的引理说明，若实数 \(x\) 不等于 \(0\)，那么它所对应的柯西序列等价类中，一定存在一个远离零的柯西序列。

• 引理 5.3.9：设 \(x\) 是不为 \(0\) 的实数，那么存在一个远离零的柯西序列 \((a_n)_{n=1}^{\infty}\)，使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)。

  证明：根据定义，存在柯西序列 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)。

  \(x\) 不等于 \(0=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}0\)，意味着存在有理数 \(\varepsilon>0\)，对于任意 \(N\geqslant m\)，都存在 \(p\geqslant N\)，使得 \(|b_p|>\varepsilon\)。

  任取有理数 \(0<\delta<\varepsilon\)，根据假设，存在 \(N\geqslant m\)，使得对于任意 \(i,j\geqslant N\)，\(|b_i-b_j|\leqslant\delta\)。再按照刚刚说的，存在 \(p\geqslant N\)，使得 \(|b_p|>\varepsilon\)。

  由于 \(|b_p|>\varepsilon\)，又由于对于任意 \(i\geqslant p\) 有 \(|b_i-b_p|\leqslant \delta\)，那么对于任意 \(i\geqslant p\)，\(|b_i|>\varepsilon-\delta>0\)。

  那么序列 \((b_n)_{n=p}^{\infty}\) 是远离零的，证毕。

注意，若实数 \(x\) 不等于 \(0\)，并不意味着 \(x\) 对应的柯西序列等价类中，所有柯西序列都是远离零的。上面提到的序列 \((0,1,1,\cdots)\) 就是一个很好的例子。

现在可以定义倒数了：

• 定义 5.3.10（实数的乘法逆元）：设 \(x\) 是不为 \(0\) 的实数，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)，那么我们定义倒数为 \(x^{-1}:=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\)。

  证明：首先 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是远离零的，这蕴含了对于任意 \(n\geqslant m\) 有 \(a_n\neq 0\)，那么存在序列 \((a_n^{-1})_{n=1}^{\infty}\)，让我们来证明该序列为柯西序列。

  根据假设，存在有理数 \(c>0\)，使得对于任意 \(n\geqslant m\)，\(|a_n|\geqslant c\) 即 \(|1/a_n|\leqslant 1/c\)。

  设 \(\varepsilon>0\) 是任意正有理数，根据假设，存在 \(N\geqslant m\)，使得对于任意 \(i,j\geqslant N\)，\(|a_i-a_j|\leqslant \varepsilon c^2\)，那么 \(\left|\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_j}\right|=\frac{|a_i-a_j|}{|a_i||a_j|}\leqslant \varepsilon\)。证毕。

• 命题 5.3.11（实数关于乘法逆元遵从代入公理）：设实数 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，其中 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 都是远离零的柯西序列，那么 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\)。

  证明：一种证明方法是类似 5.3.10 的证明（将 \(\left|\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}\right|\) 转化为 \(\frac{|a_n-b_n|}{|a_n||b_n|}\)）。

  另一种证明方法是：根据 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，然后两边同乘 \(\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}\right)\left(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\right)\)，得到 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n^{-1}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n^{-1}\)。相当于利用了实数关于乘法的代入公理。

• 定义 5.3.12（实数的除法）：定义两个实数 \(x\) 和 \(y\neq 0\) 的除法为：\(x/y:=xy^{-1}\)。

可以证明，有理数的乘法逆元和除法运算和实数的是相容的。

• 命题 5.3.13（实数的代数算律）：命题 4.2.5 中提及的关于有理数的代数算律对于实数也成立。

  证明：将实数表示成 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\) 的形式，然后不难证明。

我们现在关于实数已经有了全部四种基本的运算，它们满足全部常见的代数算律，下面我们转向实数的序的概念。

5.4 实数的次序

我们现在也想给实数定义正负。利用单个柯西序列中的元素来判断实数的正负性显然是不现实的（例如序列 \(\langle1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\cdots\rangle\)）。我们需要利用上一节中提到的远离零的定义。

• 定义 5.4.1：设序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\)。称其是正远离零的，当且仅当存在有理数 \(c>0\)，使得对于一切 \(n\geqslant m\)，\(a_n\geqslant c\)。称其是负远离零的，当且仅当存在有理数 \(c<0\)，使得对于一切 \(n\geqslant m\)，\(a_n\leqslant c\)。

• 定义 5.4.2：称一个实数 \(x\) 是正的，当且仅当存在正远离零的柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)。称一个实数 \(x\) 是负的，当且仅当存在负远离零的柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)。

• 命题 5.4.3（实数的三歧性）：设 \(x\) 是实数，那么三个命题 “\(x=0\)”、“\(x\) 是正的” 和 “\(x\) 是负的” 中恰有一个成立。

  证明：存在性：若 \(x\neq 0\)，那么根据引理 5.3.9 可知存在一个远离零的柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)。那么存在有理数 \(c>0\)，使得对于任意 \(n\geqslant m\) 有 \(|a_n|\geqslant c\)。

  根据定义，存在 \(N\geqslant m\)，使得对于任意 \(i,j\geqslant N\)，\(|a_i-a_j|<2c\)，那么就不存在 \(i,j\geqslant N\)，使得 \(a_i>0\) 和 \(a_j<0\) 同时成立。所以要么 “对于任意 \(n\geqslant N\)，\(a_n>0\)，那么 \(a_n\geqslant c\)”，要么 “对于任意 \(n\geqslant N\)，\(a_n<0\)，那么 \(a_n\leqslant -c\)”。那么 \((a_n)_{n=N}^{\infty}\) 要么是正远离零的，要么是负远离零的，证毕。

  唯一性：反证。若存在 “\(x\) 是正的” 和 “\(x\) 是负的” 同时成立，说明存在正远离零的柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 和负远离零的柯西序列 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)。那么 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\sim(b_n)_{n=m}^{\infty}\)。

  根据定义，存在有理数 \(c_a>0\) 使得对于任意 \(n\geqslant m\)，\(a_n\geqslant c_a\)；存在有理数 \(c_b>0\) 使得对于任意 \(n\geqslant m\)，\(b_n\leqslant -c_b\)。根据定义，又存在 \(N\geqslant m\) 使得对于任意 \(i,j\geqslant N\)，\(|a_i-b_i|<c_a+c_b\)，而 \(|a_i-b_i|\) 显然大于等于 \(c_a+c_b\)，矛盾。

容易证明，有理数的正负性的概念和实数的是相容的。

有了正负性的定义和性质，我们又能重复一些有理数中出现过的定理和定义。

• 引理 5.4.4：设 \(x,y\) 为实数，那么 \(xy\) 为正的当且仅当 \(x,y\) 同为正的或 \(x,y\) 同为负的，\(xy\) 为负的，当且即当 \(x,y\) 一正一负。

• 定义 5.4.5（实数的序）：设 \(x\) 和 \(y\) 是实数。称 \(x>y\) 当且仅当 \(x-y\) 是正实数。称 \(x<y\) 当且仅当 \(x-y\) 是负实数。称 \(x\geqslant y\) 当且仅当 \(x>y\) 或 \(x=y\)。称 \(x\leqslant y\) 当且仅当 \(x<y\) 或 \(x=y\)。

• 命题 5.4.6（实数的序的基本性质）：命题 4.2.11 中提及的关于有理数的序的基本性质对于实数也成立。

• 定义 5.4.7（实数的绝对值）：根据实数的三歧性，定义实数 \(x\) 的绝对值 \(|x|\) 为：若 \(x\) 是正的，那么 \(|x|:=x\)；若 \(x\) 是负的，那么 \(|x|:=-x\)；若 \(x\) 是 \(0\)，那么 \(|x|:=0\)。

• 定义 5.4.8（实数的距离）：定义两个实数 \(x\) 和 \(y\) 的距离为 \(d(x,y):=|x-y|\)。

• 命题 5.4.9（绝对值及距离的基本性质）：命题 4.3.3 中提及的关于绝对值及距离的基本性质对于实数也成立。

容易证明，有理数的序和绝对值的概念和实数的是相容的。

在实数的序的基础上，我们补充一些有关实数的稠密性的性质。

• 命题 5.4.10（用有理数来界定实数）：设 \(x\) 是一个正的实数，那么存在一个正有理数 \(q\) 使得 \(q<x\)，同时存在一个正整数 \(N\) 使得 \(x<N\)。

  证明：设柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)。

  由于 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是正远离零的，那么存在有理数 \(c\) 使得对于任意 \(n\geqslant m\)，\(a_n\geqslant c>0\)。那么易证 \(x>\frac{c}{2}\)。

  由于 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是有界的，那么存在有理数 \(M\) 使得对于任意 \(n\geqslant m\)，\(a_n\leqslant M\)。又根据命题 4.5.1，存在正整数 \(N\) 使得 \(M<N\)，那么对于任意 \(n\geqslant m\)，\(a_n\leqslant M<N\)。

• 推论 5.4.11（阿基米德性质）：设 \(x\) 和 \(\varepsilon\) 是任意正实数，那么存在正整数 \(M\)，使得 \(M\varepsilon>x\)。

推论 5.4.11 描述的是，无论 \(x\) 多么大，无论正数 \(\varepsilon\) 多么小，只要把 \(\varepsilon\) 自身不断累加，所得之和总会在有限次大于 \(x\)。

• 命题 5.4.12：设 \(x\) 和 \(y\) 是实数且 \(x<y\)，那么存在有理数 \(z\) 满足 \(x<z<y\)。

  证明：设柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)，设柯西序列 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)。

  由于 \(x\neq y\)，那么存在有理数 \(\varepsilon>0\)，使得对于任意 \(N\geqslant m\)，都存在 \(p\geqslant N\) 使得 \(|a_p-b_p|>\varepsilon\)。根据命题 4.5.2，存在有理数 \(\delta_a,\delta_b,z'\) 使得 \(0<\delta_a<z'<\varepsilon-\delta_b<\varepsilon\)。

  存在 \(N_a\geqslant m\) 使得对于任意 \(i,j\geqslant N_a\)，\(|a_i-a_j|\leqslant \delta_a\)。存在 \(N_b\geqslant m\) 使得对于任意 \(i,j\geqslant N_b\)，\(|b_i-b_j|\leqslant \delta_b\)。

  存在 \(p\geqslant \max(N_a,N_b)\) 使得 \(|a_p-b_p|>\varepsilon\)。那么对于任意 \(i\geqslant p\)，\(|a_i-a_p|\leqslant \delta_a\) 且 \(|b_i-b_p|\leqslant \delta_b\)。

  又由于 \(x<y\)，综合可知 \(a_p+\varepsilon<b_p\)，且对于任意 \(i\geqslant p\)，有 \(a_i\leqslant a_p+\delta_a<a_p+z'<b_p-\delta_b\leqslant b_i\)。

  取 \(z=a_p+z'\)，即可证明 \(x<z<y\)。

注意，命题 5.4.12 蕴含了 “设 \(x\) 和 \(y\) 是实数且 \(x<y\)，那么存在实数 \(z\) 满足 \(x<z<y\)”。

现在我们将柯西序列中元素的序和实数的序联系起来，给出一些性质，以便之后使用。

• 命题 5.4.13（非负实数集是闭的）：设 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 是一个非负有理数的柯西序列，那么 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\) 也是非负的。

  证明：反证易得。

但需要注意，正有理数序列的形式极限不必是正的，它可以是零。我们将在第 12 章中看到对此事实的一个更好的解释：因为正实数集是开的，而非负实数集是闭的。

• 推论 5.4.14：设柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 满足对于任意 \(n\geqslant m\) 有 \(a_n\geqslant b_n\)，那么 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\geqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)。

  证明：结合定义及命题 5.4.13 可知。

注意，因为正有理数序列的形式极限不必是正的，所以上述推论中的 \(\geqslant\) 换成 \(>\) 不一定成立。

而判定两个实数 \(x,y\) 满足 \(x<y\) 的正确方式应是：找到有理数 \(c>0\) 以及柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 和 \((b_n)_{n=m}^{\infty}\) 使得 \(x=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\) 且 \(y=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}b_n\)，并满足对于任意 \(n\geqslant m\)，\(b_n-a_n\geqslant c\)。

• 命题 5.4.15：设实数 \(x\) 和柯西序列 \((a_n)_{n=m}^{\infty}\) 满足对于任意 \(n\geqslant m\) 有 \(a_n\leqslant x\)，那么 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\leqslant x\)。

  证明：考虑证明逆否命题：若 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n>x\)，则存在 \(n\geqslant m\) 使得 \(a_n>x\)。

  根据命题 5.4.12，存在有理数 \(z\) 使得 \(x<z<\operatorname{LIM}_{n\to \infty}a_n\)。若对于任意的 \(n\geqslant m\) 都有 \(a_n\leqslant z\)，那么根据推论 5.4.14 可知 \(\operatorname{LIM}_{n\to \infty}\leqslant z\)，故存在 \(n\geqslant 1\) 使得 \(a_n>z>x\)，证毕。

对称地，将命题 5.4.15 中的 \(\leqslant\) 换成 \(\geqslant\)，同样成立。

5.5 界和确界

我们介绍两个关于实数的新概念——界和确界。

• 定义 5.5.1（上界）：设 \(E\subseteq \mathbb R\)，称实数 \(M\) 是 \(E\) 的一个上界，当且仅当对于任意 \(x\in E\) 有 \(x\leqslant M\)。

我们可以注意到：有一些集合没有上界（如正实数集 \(\mathbb R^+:=\{x\in \mathbb R:x>0\}\)），任何数都是 \(\varnothing\) 的上界。

• 定义 5.5.2（上确界）：设 \(E\subseteq \mathbb R\)，称实数 \(M\) 是 \(E\) 的上确界，当且仅当 \(M\) 是 \(E\) 的上界，且 \(E\) 的任何上界 \(M'\) 都大于等于 \(M\)。

• 命题 5.5.3（确界原理）：设 \(E\subseteq \mathbb R\) 是非空集合，若 \(E\) 有上界，那么 \(E\) 的上确界存在且唯一。

  证明：唯一性：反证。设 \(E\) 有两个上确界 \(M,M'\)，那么根据定义有 \(M'\geqslant M\) 且 \(M\geqslant M'\)，即 \(M=M'\)。

  存在性：\(E\) 是非空集合，设 \(x_0\in E\)。\(E\) 存在上界，设 \(M\) 是 \(E\) 的上界。那么 \(x_0\leqslant M\)。

  设整数 \(n\geqslant 1\)，存在整数 \(K\) 使得 \(M\leqslant \frac{K}{n}\)，存在整数 \(L\) 使得 \(\frac{L}{n}<x_0\)，那么 \(L<K\)。

  存在唯一的整数 \(m_n\) 满足 \(L<m_n\leqslant K\) 使得 \(\frac{m_n}{n}\) 是 \(E\) 的上界而 \(\frac{m_n-1}{n}\) 不是（固定 \(L\) 而对 \(K\) 归纳）。

  注意到，设整数 \(N\geqslant 1\)，对于任意 \(n,n'\ge N\)，由于 \(\frac{m_n}{n}\) 是 \(E\) 的上界而 \(\frac{m_{n'}-1}{n'}\) 不是，那么有 \(\frac{m_{n'}-1}{n'}<\frac{m_n}{n}\)，即 \(\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}<\frac{1}{n'}\leqslant\frac{1}{N}\)，同理 \(\frac{m_{n'}}{n'}-\frac{m_n}{n}>-\frac{1}{n}\geqslant- \frac{1}{N}\)，即 \(|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}|\leqslant\frac{1}{N}\)。

  那么可以证明 \((\frac{m_n}{n})_{n=1}^{\infty}\) 是一个柯西序列。令 \(S=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)\)，我们欲证明 \(S\) 就是 \(E\) 的上确界。

  先证明 \(S\) 是 \(E\) 的上界：对于任意 \(x\in E\)，我们知道对于任意 \(n\geqslant 1\)，\(x\leqslant \frac{m_n}{n}\)，那么根据命题 5.4.15 可知 \(x\leqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)\)。

  再证明 \(S\) 是 \(E\) 的上确界：对于任意 \(E\) 的上界 \(y\)，对于任意 \(n\geqslant 1\)，由于 \(\frac{m_n-1}{n}\) 不是 \(E\) 的上界，那么 \(\frac{m_n-1}{n}<y\)，那么根据命题 5.4.15 可知 \(y\geqslant \operatorname{LIM}_{n\to \infty}\frac{m_n-1}{n}=\operatorname{LIM}_{n\to \infty}(m_n/n)=S\)。

• 定义 5.5.4（sup）：设 \(E\subseteq \mathbb R\)。若 \(E\) 非空且存在上界，那么定义 \(\sup E\) 为 \(E\) 的上确界；若 \(E\) 非空且不存在上界，那么定义 \(\sup E:=+\infty\)；若 \(E\) 为空，那么定义 \(\sup E:=-\infty\)。

在这里，\(+\infty\) 和 \(-\infty\) 都是没有意义的符号而非实数，没有关于它们的任何运算和性质。

我们举一个例子来说明定义上确界的作用：

• 命题 5.5.5：存在正实数 \(x\) 使得 \(x^2=2\)。

  证明：设集合 \(E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^2<2\}\) 是 \(\mathbb R\) 的子集。显然 \(E\) 存在上界。那么就存在上确界 \(x:=\sup E\)。我们来证明 \(x^2=2\)，即证不可能有 \(x^2<2\) 或 \(x^2>2\)。

  首先，因为 \(2\) 是 \(E\) 的上界（若 \(y>2\) 则 \(y^2>4>2\)），有 \(x\leqslant 2\)。

  假设 \(x^2<2\)。考虑证明存在实数 \(\varepsilon>0\) 使得 \((x+\varepsilon)^2<2\)（那么 \(x+\varepsilon\in E\)，从而 \(x\) 不是 \(E\) 的上界，矛盾），而 \((x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2\leqslant x^2+5\varepsilon\)，那么只需令 \(0<\varepsilon<\frac{2-x^2}{5}\) 即可。

  假设 \(x^2>2\)，考虑证明存在实数 \(\varepsilon>0\) 使得 \((x-\varepsilon)^2>2\)（从而 \(x-\varepsilon\) 是 \(E\) 的更小上界，矛盾），而 \((x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2\geqslant x-3\varepsilon^2\)，那么只需令 \(0<\varepsilon<\frac{x^2-2}{3}\) 即可。

类似地，我们也可以定义下界、下确界以及 \(\inf E\)。根据对称性，容易证明 \(\sup E=-\inf(-E)\)，其中 \(-E:=\{-x:x\in E\}\)。

5.6 实数的有理数次幂

类似有理数，我们可以类似地定义实数的整数次幂，以及得到相似的关于整数次幂的性质：

• 定义 5.6.1（自然数次幂的指数运算）：设 \(x\) 是实数，首先定义 \(x^0:=1\)。现归纳地假定已定义好 \(x^n\)，那么定义 \(x^{n+1}:=x^n\times x\)。

• 定义 5.6.2（负数次幂的指数运算）：设 \(x\) 是一个非零的实数，那么对于任何负整数 \(-n\)，定义 \(x^{-n}:=\frac{1}{x^n}\)。

• 命题 5.6.3：命题 4.4.2、引理 4.4.4、引理 4.4.5 和命题 4.4.6 中提及的关于整数次幂的性质对于实数也成立。

  证明：审视上述命题的证明，发现它们依赖于有理数的代数算律和序的规则，而以前我们已经证明过了这些对于实数同样成立，故这些命题对于实数也成立。

可以看到，有理数的整数次幂的指数运算和实数的是相容的。

现在我们来定义实数的非整数次幂，先从 \(n\) 次根的概念开始。

• 定义 5.6.4：对于实数 \(x>0\) 和整数 \(n\geqslant 1\)，定义 \(x\) 的 \(n\) 次根为实数 \(x^{\frac{1}{n}}:=\sup\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\}\)。我们常把 \(x^{\frac{1}{2}}\) 记作 \(\sqrt x\)。

  证明：只需证明 \(E:=\{y\in\mathbb R:y\geqslant 0\land y^n\leqslant x\}\) 非空和存在上界即可。容易发现一定有 \(0\in E\)。

  存在整数 \(N>0\) 使得 \(x\leqslant N\)，通过对 \(N\) 归纳可以证明存在正整数 \(Y\) 使得 \(Y^n\geqslant N\geqslant x\)。那么 \(Y\) 是 \(E\) 的上界（若 \(y>Y\)，则 \(y^n>Y^n\geqslant x\implies y\not\in E\)）。

• 引理 5.6.5：设实数 \(x>0,y\geqslant 0\) 和整数 \(n\geqslant 1\)。若 \(y^n<x\)，那么存在实数 \(\varepsilon>0\)，使得 \((y+\varepsilon)^n<x\)；若 \(y^n>x\)，那么存在实数 \(\varepsilon>0\)，使得 \((y-\varepsilon)^n>x\)。

  证明：两证明对称，证前面那个。根据 5.6.4 的证明，可知存在正整数 \(Y\) 使得 \(y\leqslant Y\)，那么对 \(n\) 归纳可以证明存在正整数 \(k\) 使得 \((y+\varepsilon)^n\leqslant y^n+k\varepsilon\)。那么取 \(\varepsilon\) 使得 \(0<\varepsilon<\frac{x-y^n}{k}\) 即可。

• 引理 5.6.6：设实数 \(x,y>0\) 和整数 \(n,m\geqslant 1\)。

  1. \((x^{\frac{1}{n}})^n=x\)。证明：设 \(y=x^{\frac{1}{n}}\)，类似命题 5.5.5 的证明，利用引理 5.6.5，可以证明不可能有 \(y^n<x\) 或 \(y^n>x\)。

  2. \(y^n=x\implies y=x^{\frac{1}{n}}\)。证明：利用序的性质及命题 5.6.3 易证。

     推论1：\(y=(y^n)^{\frac{1}{n}}\)。推论2（消去律）：\(x^n=y^n\implies x=y\)。

  3. \(x^{\frac{1}{n}}>0\)。证明：\(0^n<x\)，根据引理 5.6.5 可知 \(0\) 不是上界，故上确界大于 \(0\)。

  4. \(x>y\iff x^{\frac1n}>y^{\frac1n}\)。证明：根据命题 5.6.3 易证。

  5. 若 \(x>1\)，那么 \(x^{\frac1n}\) 是关于 \(n\) 的减函数；若 \(x<1\)，那么 \(x^{\frac1n}\) 是关于 \(n\) 的增函数；若 \(x=1\)，那么对于任意 \(n\geqslant 1\)，\(x^{\frac1n}=1\)。

     证明：只证第一条，即证 \(x^{\frac1n}>x^{\frac1{n+1}}\)。可以证明 \(x^{\frac1{n+1}}>1\)，那么可以对幂次归纳证明 \((x^{\frac1{n+1}})^n<(x^{\frac{1}{n+1}})^{n+1}=x\)，于是 \(x^{\frac{1}{n+1}}<x^{\frac1n}\)。

  6. \((xy)^{\frac1n}=x^{\frac1n}y^{\frac1n}\)。证明：它们的 \(n\) 次方相等。

  7. \((x^{\frac1n})^{\frac1m}=x^{\frac1{nm}}\)。证明：它们的 \(nm\) 次方相等。推论：\((x^{\frac{1}{nm}})^m=x^{\frac{1}{n}}\)。

可以证明，\(x^{\frac11}\) 和 \(x^1\) 是相容的。接下来我们定义实数的有理数次幂。

• 定义 5.6.7（有理数次幂的指数运算）：设实数 \(x>0\) 和有理数 \(q=\frac{a}{b}\)，其中 \(a\) 是整数且 \(b\) 是正整数，定义 \(x^q:=(x^{\frac1b})^a\)。

• 命题 5.6.8（实数关于有理数次求幂遵从代入公理）：设 \(x>0\) 是实数，\(a,a'\) 是整数，\(b,b'\) 是正整数，且满足 \(\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}\)，那么 \((x^{\frac1b})^a=(x^{\frac1{b'}})^{a'}\)。

  证明：\(ab'=a'b\)。当 \(a>0\) 时，\(a'>0\)，有 \(x^{\frac1{ab'}}=x^{\frac{1}{a'b}}\)，将等式两边同时取 \(aa'\) 次幂，即证。当 \(a=0\) 和 \(a<0\) 时类似。

容易发现，有理数次幂和整数次幂及定义 5.6.4 是相容的。我们给出有理数次幂的一些基本性质：

• 引理 5.6.9：设实数 \(x,y>0\) 和有理数 \(q,r\)。

  1. \(x^q>0\)。证明：结合引理 5.6.6.3 和命题 5.6.3。

  2. \(x^{q+r}=x^qx^r\) 且 \((x^q)^r=x^{qr}\)。证明：将 \(q,r\) 表示成分数的形式，然后等式两侧同时取幂，利用引理 5.6.6 消掉 \(x\) 的幂次中的分母，然后变成整数次幂的形式。

  3. \(x^{-q}=\frac{1}{x^q}\)。证明：方法同上。

  4. 若 \(q>0\)，\(x>y\iff x^q>y^q\)。证明：结合引理 5.6.6.4 和命题 5.6.3。

  5. 若 \(x>1\)，那么 \(x^q<x^r\iff q<r\)。若 \(x<1\)，那么 \(x^q<x^r\iff q>r\)。证明：将 \(q,r\) 通分使得分母相同然后再证明（注意我们还未定义互质和通分等，但这里的通分指的是，设 \(q=\frac{a}{b},r=\frac{c}{d}\)，那么 \(q=\frac{ad}{bd},r=\frac{bc}{bd}\)）。

而对于实数的实数次幂，我们将推迟到正式定义了极限的概念之后。

标签：infty,有理数,varepsilon,实数,geqslant,序列
来源： https://www.cnblogs.com/szdytom/p/analyze-5.html