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反演原理
反演原理 给定函数 \(F\to G\) 之间的（求和）关系式，由此推出 \(G\to F\) 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。 定义两个关系矩阵 \(A\) ，来描述求和关系 \(F\) 和 \(G\) 。 \(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}\times G[j]}\Leftrightarrow G[i]=\sum_{j=1}^{i}{B_{i,j}\times F[二项式反演
二项式反演 设 \(f(n)\) 表示 \(n\) 个补集的交集大小，\(g(n)\) 表示 \(n\) 个原集的交集的大小。 \[f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i \]\[f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n逻辑数学 -> 让书写更严谨！
正文开始之前，我们先明确几个符号吧： 析取号 $\vee $ (读作“或”) 合取号 \(\wedge\) (读作“且”) 否定号 \(\neg\) (读作“非”) 蕴涵号 \(\rightarrow\) \(\Rightarrow\) (读作“推出”) 等价号 \(\leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow\) (读作“等价于”) 映射号 \(\mapsto\) (差分约束系统 学习笔记
模板：P5960 【模板】差分约束算法 如果一个不等式组由 \(n\) 个变量和 \(m\) 个约束条件组成，形成 \(m\) 个形如 \[x_i-x_j \le k \space (i,j∈[1,n],k \in \mathbb{Z}) \]的不等式，则称其为差分约束系统。 我们要解决的问题就是： 求出一组 \((x_1,x_2,..,x_n)\) 满足条件的解。 将《信号与系统》系列 - Ch03 连续信号的频域分析
Ch 03 - 连续信号的频域分析 连续傅里叶级数 CFS CFS 给出了周期信号的分解表示 \[x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}A_k{\rm e}^{{\rm j}k\Omega_0t} \\=A_0+\sum_{k=1}^{+\infty}(a_n\cos \frac{2k\pi t}{T_0} + b_n \sin \frac{2k\pi t}{T_0}) \]用有限（如正弦波叠加型）或无限（如方数论笔记1——整除、带余除法、素数合数
参考资料: 潘承洞 潘承彪 《初等数论》（第三版） 闵嗣鹤 严士健 《初等数论》（第四版） 作为第一节, 这些都是相当基础的内容, 但是我们可以感受揣摩其定义, 推导的严谨性. 1. 整除 定义: 设 \(a,b\in\mathbb{Z}, a\neq 0\), 若 \(\exist q\in\mathbb{Z}\) 使得 \(b=qa\), 则称 \(b\) 能P1989 无向图三元环计数
原题链接 简要题意： 给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，求其三元环个数。 \(n \leq 10^5 , m \leq 2 * 10^5\). 首先考虑一个暴力做法。 其实我们就是要寻找有多少组 \((u,v,w)\) 能使同时存在三条边 \(u \leftrightarrow v , u \leftrightarrow w , v \leftrightarrow w\). 于是二项式反演目害证
由于用了二项式反演，但是一直没证过，心里一直不踏实于是决定证一下 形式零 首先有多步容斥一开始的柿子： \[|A_1\bigcup A_2 \bigcup A_3 ..... \bigcup A_n|=\sum\limits_{i=1}^n|A_i|-\sum\limits_{1<=i<j<=n}|A_i\bigcap A_j|+...+(-1)^{n-1}|A_1\bigcap A_2\bigcap A_3....\bigca【信号与系统】z变换
概述 本文是信号与系统相关内容，描述了 \(z\) 变换相关的一些内容 阅读本文之前，需要阅读 ： 《信号与系统-上册》（高等教育出版社，第三版，郑君里，应启珩(héng)，杨为理） 《信号与系统-下册》第七到八章 \(z\) 变换的推荐教程：谁都看得懂的数字信号处理教程（第13讲z变换） 本文仅做回忆笔记用，不线性时不变系统可观 (observable) 与可检 (detectable) 的等价命题证明
本文是上一篇《线性时不变系统可镇定 (stabilizable) 等价命题证明》(https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html) 的延续, 公式定义等的编号也按上一篇顺延. 考虑如下线性时不变系统: $$ \dot{x} = Ax + Bu \qquad (1) \\ y = Cx + Du \qquad (2) $$ *(注: 矩阵或向量cf869 C. The Intriguing Obsession（排列组合）
https://codeforces.com/contest/869/C 题意： 有三种颜色的岛屿，数量分别为 \(A,B,C\) 在一些（可能全部或没有）岛屿之间建立了桥梁。一座桥双向连接两个不同的岛。对于任意两个相同颜色的岛甲和乙，要么甲不能到达乙，要么甲要经过至少3座桥才能到达乙 岛两两不同，问造桥方案总数。答案对 9自推屈婉玲离散数学24个重要的等值式
文章目录 0.引言1.双重否定律2.等幂律3.交换律4.结合律5. 分配律6.吸收律7. 德·摩根律8.零律9.同一律10.排中律11.矛盾律12 .蕴含等值式13.等价等值式14.假言易位15.等价否定等值式16.归谬论 0.引言 大家好，我是执念斩长河。一个刚刚专升本成功的普通学渣。最近几周刚开CF1567F One-Four Overload 题解
Link. Codeforces Luogu P.S. 给个证明？ Description. 给定一个 \(n\times m\) 的矩阵，每个元素是 X 或 .。 共两种颜色，对每个 . 染上一种颜色，使得所有 X 周围不同颜色出现次数相同。 Solution. 对于一个 X 周围有奇数个 . 的情况，显然直接无解。 一个 X 周围有 \(0\) 个 .，显然不用考二项式反演入门
对于序列 \(\{f_n\}\) 和 \(\{g_n\}\)，通过 \(f\) 计算出 \(g\) 叫做正演，通过 \(g\) 计算出 \(f\) 叫做反演。 形式 二项式反演讲的是： \[g_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f_i \Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g_i \]证明 将组合数展开得到： \[\begin{aligned} &【离散数学】第一章到第七章知识点总结+自己的见解
第一章 命题逻辑的基本概念 1.1 命题与联结词 命题：非真即假的陈述句 真值：命题陈述句的所表达的判断结果，有两个值（真或假） 简单命题（原子命题）：不能被分解成更简单的命题 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题 题型：判断句子是否为命题： 是否为陈述句 是否有唯一真值（不用知二项式反演
二项式反演 常用结论 \[g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni f_i\Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni g_i\\ g_n=\sum_{i=0}^n\binom ni f_i\Leftrightarrow g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom ni f_i \]反演 对于一个数列 \(f\)，若有另一个数列 \(g\) 满足 \[g_n=\sum_{CF1147F Zigzag Game
题目链接 尝试构造这样一组匹配：满足对于任意两条匹配边 \(a\leftrightarrow b,c\leftrightarrow d\)，若存在非匹配边 \(b\leftrightarrow c\) 且 \(w(b,c)<w(a,b)\)，则一定有 \(w(c,d)\)。这样我们选择后手Bob，每次沿着匹配边走，一定能获得胜利（若Alice选择升序则令 \(w(i,j)=-w(i,j)\)【柯】代数学引论 第1章 §6.等价关系. 商映射
如有错误，欢迎在评论区或私信我指出。 \(Page.30\\1.\ (x_{l},y_{l})\in l\Leftrightarrow \{ (x,y)|y=kx+y_{l}\}\) \(2.\ 证明略(反身,对称,传递),图像：当x与x'相同时，环上y以1为一个周期圈起来形成图11(2)的圆环。再将y与y'相同时，x上以1为一个周期首尾相连形成图11(3)的环AtCoder Grand Contest 012
题目传送门：AtCoder Grand Contest 012。 目录A - AtCoder Group ContestB - Splatter PaintingC - Tautonym PuzzleD - Colorful BallsE - Camel and OasesF - Prefix Median A - AtCoder Group Contest 从大到小排序后选择 \(a_2, a_4, \ldots, a_{2 N}\)。 #include <cstdio> #i矩阵论练习7（基与坐标）
定理 假设 \(\eta,\eta_i\in V\) 在基 \(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\) 下的坐标分别是 \(X\) 即 \(X_i\)，\(i=1,2,...,s\). 则 \(\eta=\theta \Leftrightarrow X=\theta\) \(\eta=k_1\eta_1 + k_2\eta_2+\cdots+k_s\eta_s \Leftrightarrow X=k_1X_1 + k_2符号法则及应用
符号法则 符号语言：$ab=0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(a=0\)或\(b=0\)； 符号语言：$ab\neq 0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(a\neq 0\)且\(b\neq0\)； 符号语言：$ab\ge 0\Leftrightarrow $ 自然语言：\(\begin{cases}a\ge 0\\b\ge0 \end{cases}\)或\(\begin{cases}a\leq 0\\b\leq 0几个重要的分段函数
绝对值函数 $y=\left|x\right|= \left\{\begin{matrix} x, x \ge 0 &\\ -x, x < 0 & \end{matrix}\right.$ 性质： $\left|x\right|=x \Leftrightarrow x \ge 0，\left|x\right|=-x \Leftrightarrow x \le 0$ 图形： 取整函数常用的逻辑符号
逻辑符号 符号名称 符号含义 说明 $\forall$ 全称量词 表示对于所有的，对于每一个 这个倒写的A来自英文All的第一个字母 $\exists$ 存在量词 表示存在，至少有一个 这个反写的E来自英文Exists的第一个字母 $\Rightarrow$ 蕴含符号 A$\Rightarrow$B表示由命题A可以推出命题B A【学习笔记】整除的性质
【学习笔记】整除的性质 一些很显然的性质以后在摆上来，这里写一写没有那么直观的 若\(a|b\)且\(a|c\)\(\Leftrightarrow\)对于任意\(x,y \in Z\),有\(a|(bx+cy)\)证明如下： 由于\(a|b\)且\(a|c\)，不妨设\(b=ta,c=ia\),则\(bx+cy=a(tx+iy)\)得证。 若\(\exists x,y\in Z\)使得\(ax+