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几个重要的分段函数

作者:互联网

绝对值函数
  $y=\left|x\right|=
  \left\{\begin{matrix}
  x, x \ge 0 &\\
  -x, x < 0 &
  \end{matrix}\right.$


  性质:

    $\left|x\right|=x \Leftrightarrow x \ge 0,\left|x\right|=-x \Leftrightarrow x \le 0$

  图形:

           

 

取整函数
  $y=[x]=$小于或等于$x$的最大整数
  用分段函数表示:$y=[x]=n,n \le x <n+1$($n$是整数)

  性质:

    $[x] \le x < [x] + 1,[x] = x \Leftrightarrow x$是整数,$[x+y] \ge [x]+[y],[x+n]=[x]+n$($n$是整数)

  图形:(阶梯曲线)

            

 

符号函数
  $y=sgnx=
  \left\{\begin{matrix}
  1,& x > 0 \\
  0,& x = 0 \\
  -1,& x < 0
  \end{matrix}\right.$

  性质:
    $sgnx=1 \Leftrightarrow x > 0, sgnx=-1 \Leftrightarrow x < 0$
    $sgn(x-a) = 1 \Leftrightarrow x > a, sgn(x-a) = -1 \Leftrightarrow x < a$
    $x=sgnx \cdot \left|x\right|,\left|x\right|=sgnx \cdot x$

  图形:

    

 

狄利克雷函数
  $y=D(x)=
  \left\{\begin{matrix}
  1,& x是有理数 \\
  0,& x是无理数
  \end{matrix}\right.$


  性质:
    狄利克雷函数有很多糟糕的性质
    1) 狄利克雷函数没有图形(没有任何曲线段)
    2) 狄利克雷函数是以任何正有理数为周期的周期函数,因此它没有最小的正周期
    3) 狄利克雷函数处处无极限,处处不连续,处处不可导,在任何区间上不可积
    狄利克雷函数常用来举反例和构造具有某种特殊性质的函数
    如函数:$y=xD(x)$仅在原点连续,在其他点处间断,
    函数$y=x^{2}D(x)$仅在原点可导,在其他点处间断(从而不可导)

  注意:

    狄利克雷函数可以用极限定义为$D(x)=\lim_{m \rightarrow \infty }[\lim_{n \rightarrow \infty }cos^{n}(\pi m!x)]$

 

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来源: https://www.cnblogs.com/shiliye/p/11105125.html