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线性时不变系统可观 (observable) 与可检 (detectable) 的等价命题证明

2021-10-29 19:31:51 作者：互联网

本文是上一篇《线性时不变系统可镇定 (stabilizable) 等价命题证明》(https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html) 的延续, 公式定义等的编号也按上一篇顺延.

考虑如下线性时不变系统:

$$ \dot{x} = Ax + Bu \qquad (1) \\ y = Cx + Du \qquad (2) $$

*(注: 矩阵或向量上的 " * " 均代表转置)*

定义 4 对任意 $t_1>0$, 若初始状态 $x(0) = x_0$ 能够由输入 $u(t)$ 和输出 $y(t)$ 在区间 $[0, t_1]$ 上的值唯一确定, 则称由方程 (1) 和 (2) 或者矩阵对 $(C, A)$ 所描述的动态系统是可观的, 否则该系统或 $(C, A)$ 是不可观的.

定理 3 下列命题等价:

(i) $(C, A)$ 可观;
(ii) 矩阵 $W_o(t) = \int_0^t e^{A^*\tau}C^*Ce^{A\tau} d\tau$ 对任意 $t>0$ 是正定的;
(iii) 可观测性矩阵 $$ \mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \ CA \ CA^2 \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix} $$ 是列满秩的, 或者 $\bigcap_{i=1}^n \text{Ker} (CA^{i-1}) = 0$;
(iv) 对所有的 $\lambda \in \mathbb{C}$, 矩阵 $\binom{A- \lambda I}{C}$ 是列满秩的;
(v) 设 $\lambda$ 和 $y$ 分别是 $A$ 的任意特征值和相应的任意右特征向量, 即 $Ay = \lambda y$, 则 $Cy \neq 0$;
(vi) 通过适当选取 $L$ 能够任意配置 $A+LC$ 的特征值 (条件是复数特征值必须以共轭对出现);
(vii) $(A^*, C^*)$ 是可控的.

证明:
首先证明 (i)$\Leftrightarrow$(iii). "$\Leftarrow$": 输入 $u(t)$, 输出 $y(t)$ 和初始条件 $x_0$ 的关系式为:

\[y(t)=C e^{A t} x(0)+\int_{0}^{t} C e^{A(t-\tau)} B u(\tau) d \tau + D u(t). \]

那么, $x(0)$ 是否可由上式唯一确定仅取决于其前面的系数矩阵是否可逆. 因此, 我们不妨设 $u(t) = 0$, 则 $y(t)=C e^{A t} x(0)$. 于是

\[\begin{bmatrix} y(0)\\ \dot{y}(0) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} x(0). \]

因为矩阵 $\mathcal{O}$ 列满秩, 所以上式存在唯一解 $x(0)$, 即 $(C, A)$ 可观.
"$\Rightarrow$": 用反证法. 假设 $(C, A)$ 可观, 但可观测矩阵 $\mathcal{O}$ 列不满秩, 即存在向量 $x_0$ 使得 $\mathcal{O} x_0 = 0$, 因此 $CA^i x_0 = 0 (i\geq0)$. 取 $x(0) = x_0$, 则 $y = Ce^{At} x(0)$. 根据哈密顿-凯莱定理, 矩阵指数 $e^{At}$ 可表为

\[e^{At} = \sum_{k=1}^{n-1} a_k(t) A^k. \]

将其带入 $y$ 可得

\[y = C\sum_{k=1}^{n-1} a_k(t) A^k x(0) = \sum_{k=1}^{n-1} a_k(t) CA^k x(0) \equiv 0. \]

也就是说, $x(0)$ 不能由 $y(t) \equiv 0$ 来决定, 即系统不可观, 矛盾.
((iii)中最后一句话解释: 一个矩阵 $A$ 的零空间是方程 $Av = 0$ 的所有解 $v$ 的集合)
(i)$\Leftrightarrow$(vii). 系统 (1) 和 (2) 的对偶系统为

\[\dot{z} = A^*z + C^*v, \\ w = B^*x + D^*v. \]

可得 $(C, A)$ 可观与 $(A^*, C^*)$ 可控等价.
(ii)$\Leftrightarrow$(vii). 将矩阵 $A^*, C^*$ 带入定理 1(ii) 即可. (定理 1 指的是上一篇文章 https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html 中的定理 1, 下同)

(iv)$\Leftrightarrow$(vii). 由定理1(iv) 可得, $(A^*, C^*)$ 可控 $\Leftrightarrow$ 矩阵 $[A^*-\lambda I\quad C^*]$ 行满秩, 亦即 (其转置) 矩阵 $\binom{A-\lambda I}{C}$ 列满秩.

(v)$\Leftrightarrow$(vii). 对对偶系统, 由定理1(v), $(A^*, C^*)$ 可控 $\Leftrightarrow$ 对满足 $Ay = \lambda y$ 的 $y$ 和 $\lambda$, 有 $y^*C^* \neq 0$, 即 $Cy \neq 0$.

(vi)$\Leftrightarrow$(vii). 由定理1(vi), $(A^*, C^*)$ 可控 $\Leftrightarrow$ 存在矩阵 $F$ 使得 $A^*+C^*F$ 的特征值可自由配置, 取 $L = F^*$, 即其转置矩阵 $A + LC$ 的特征值可自由配置.

定义 5 如果存在 $L$ 使得矩阵 $A + LC$ 稳定, 则称系统 (1) 和 (2) 或矩阵对 $(C, A)$ 可检测.

定理 4 下列命题等价:

(i) $(C, A)$ 可检测;
(ii) 对所有满足 $\text{Re}\lambda\geq0$ 的特征值, 有 $\binom{A-\lambda I}{C}$ 列满秩;
(iii) 对所有使得 $Ax = \lambda x$ 和 $\text{Re} \lambda \geq 0$ 成立的 $\lambda$ 和 $x$, 有 $Cx = 0$;
(iv) 存在矩阵 $L$ 使得 $A + LC$ 为 Hurwitz 矩阵;
(v) $(A^*, C^*)$ 可镇定.

证明
(下文中提到的定理 2指的是 https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1726.html 中的定理 2)
(i)$\Leftrightarrow$(v). 根据对偶系统和原系统的关系, 可知等价性.

(ii)$\Leftrightarrow$(v). 由定理 2(ii) 可知, $(A^*, C^*)$ 可镇定 $\Leftrightarrow$ 对所有满足 $\text{Re}\lambda\geq0$ 的特征值有 $[A^* - \lambda I \quad C^*]$ 行满秩, 即 (其转置) 矩阵 $\binom{A-\lambda I}{C}$ 列满秩.

(iii)$\Leftrightarrow$(v). 由定理 2(iii) 可知, $(A^*, C^*)$ 可镇定 $\Leftrightarrow$ 对所有使得 $Ax = \lambda x$ 和 $\text{Re} \lambda \geq 0$ 成立的 $\lambda$ 和 $x$ 有 $x^*C^* \neq 0$, 即 $Cx \neq 0$.

(iv)$\Leftrightarrow$(v). 由定理 2(iv) 可知, $(A^*, C^*)$ 可镇定 $\Leftrightarrow$ 存在矩阵 $F$ 使得 $A^*+C^*F$ 为 Hurwitz, 取 $L = F^*$, 即其转置矩阵 $A + LC$ 也为 Hurwitz.

本文中的定义定理来自文献 [1], 但在[1] 中没有给出详细证明过程.
参考文献:
[1] Kemin Zhou, Robust and Optimal Control, PRENTICE HALL, Englewo o d Cliffs, New Jersey 07632.

标签：observable,特征值,定理,矩阵,可检,detectable,Leftrightarrow,CA,lambda
来源： https://www.cnblogs.com/beta2187/p/B1921.html