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【离散数学】第一章到第七章知识点总结+自己的见解

作者：互联网

第一章 命题逻辑的基本概念

1.1 命题与联结词

命题：非真即假的陈述句

真值：命题陈述句的所表达的判断结果，有两个值（真或假）

简单命题（原子命题）：不能被分解成更简单的命题

复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题

题型：判断句子是否为命题：

联结词符号
否定 ¬ \lnot ¬
合取 ∧ \land ∧
析取 ∨ \lor ∨
蕴涵 → \rightarrow →
等价 ↔ \leftrightarrow ↔

注意点：这个阅读理解的要小心阅读

关于合取式的特殊情况
张三与李四都是三好学生。其符号化为：
p：张三是好学生；q：李四是好学生
张三和李四是同学。其符号化为：
p：张三和李四是同学

蕴含式：设a,b为两个命题，复合命题"如果a,则b"称为a与b的蕴涵式，记作a->b，并称a是蕴涵式的前件，b是蕴涵式的后件。->称作蕴涵式联结词。当且仅当a为真，q为假时，a->b为假。

在自然语言中，如果a，则b，中的前件和后件往往具有某种内在联系，而数理逻辑是研究抽象的推理，前件和后件可以没有任何内在联系，只需要体现出真假即可

联结词的优先顺序： ( , ) , ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ (,),\lnot,\land,\lor,\rightarrow,\leftrightarrow (,),¬,∧,∨,→,↔对于同一优先级，从左到右顺序进行。

1.2 命题公式及其赋值

命题常项（命题常元）：简单命题是命题逻辑中最基本的研究单元，其真值是确定的

命题变项（命题变元）：其真值是1或0；命题变项不是命题

合式公式：将命题变项用联结词和圆括号按照一定的逻辑关系联结起来的符号串。

单个命题变项是合式公式，并称为原子命题公式
合式公式也称命题公式，命题形式，简称为公式
合式公式A中的一部分B也是合式公式，则称B为A的子公式

元语言符号：用来表示任意的合式公式A，B

对象语言符号：用来表示具体的公式，如p,p->q,p∧q等

公式层次的定义：公式A为单个的命题变项，则称A为0层公式。

赋值和解释：设p1,p2,p3…是出现在公式A中的全部命题变项，给p1,p2,p3…各指定一个真值，称为对A的赋值或解释。若这组值使A为1，则称这组值为A的成真赋值，反之。

真值表的构建：构造真值表的具体步骤：

公式相等的判定：两个公式A与B的真值表对所有赋值最后一列都相等，那么两者就相等

重言式（永真式）：公式在它的所有赋值下均为真值
矛盾式（永假式）：公式在它的所有赋值下均为假值
可满足式：公式不是矛盾式

公式A，B中共同含有命题变项p1,p2,p3…pn，而A或B不全含这些命题变项，例如：A中不含有pi,pi+1…，（i>=2），称这些命题变项为A的哑元。A的真值与哑元无关，但讨论二者相等时，需要将A和B都看成p1,p2,p…pn的命题公式。（都要带上哑元）

第二章 命题逻辑等值演算

2.1 等值式

公式等值的概念：两个命题（A,B）公式构成的等价式 A ↔ B A\leftrightarrow B A↔B为重言式，则AB等值，记 A ⇔ B A\Leftrightarrow B A⇔B

区分点： ⇔ \Leftrightarrow ⇔和 ↔ \leftrightarrow ↔的区别：前者是元语言符号，后者是等价联结词

判断两个公式是否等值的方法：

等值演算公式汇总（对我而言，好多公式不需要记，了解原理即可）

名称公式（A，B，C是命题公式）理解
双重否定句 A ⇔ ¬ ¬ A A\Leftrightarrow \lnot \lnot A A⇔¬¬A负负得正
幂等律 A ⇔ A ∨ A , A ⇔ A ∧ A A\Leftrightarrow A \lor A,A\Leftrightarrow A\land A A⇔A∨A,A⇔A∧A自身析取合取不变
交换律 A ∨ B ⇔ B ∨ A , A ∧ B ⇔ B ∧ B A\lor B \Leftrightarrow B\lor A,A\land B \Leftrightarrow B \land B A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧B命题公式运算没有方向得讲究
结合律 ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ) (A\lor B)\lor C\Leftrightarrow A\lor(B\lor C)\\(A\land B)\land C \Leftrightarrow A\land (B\land C) (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)同上
分配律 A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A\lor(B\land C)\Leftrightarrow(A\lor B)\land(A\lor C)\\A\land (B\lor C)\Leftrightarrow(A\land B)\lor(A\land C) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)析取和合取之间得分配律
德摩根律 ¬ ( A ∨ B ) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B , ¬ ( A ∧ B ) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B \lnot(A\lor B)\Leftrightarrow \lnot A\land \lnot B,\lnot (A\land B)\Leftrightarrow \lnot A\lor \lnot B ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B,¬(A∧B)⇔¬A∨¬B展开取反
吸收律 A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A , A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A,A\land(A\lor B)\Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔A,A∧(A∨B)⇔A画范围理解
零律 A ∨ 1 ⇔ 1 , A ∧ 0 ⇔ 0 A\lor1\Leftrightarrow1,A\land0\Leftrightarrow0 A∨1⇔1,A∧0⇔0基本性质得使用，理解就行
同一律 A ∨ 0 ⇔ A , A ∧ 1 ⇔ A A\lor 0\Leftrightarrow A,A\land 1\Leftrightarrow A A∨0⇔A,A∧1⇔A同上
排中律 A ∨ ¬ A ⇔ 1 A\lor \lnot A\Leftrightarrow1 A∨¬A⇔1非真比假性质与析取性质
矛盾律 A ∧ ¬ A ⇔ 1 A\land \lnot A\Leftrightarrow1 A∧¬A⇔1同上
蕴含等值式 A → B ⇔ ¬ A ∨ B A\rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A\lor B A→B⇔¬A∨B将唯一一种假的形式表示出来（对应真值相同）
假言易位 A → B ⇔ ¬ B → ¬ A A\rightarrow B\Leftrightarrow \lnot B\rightarrow \lnot A A→B⇔¬B→¬A蕴含式逆否命题的概念
等价等值式 A ↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A ) A\leftrightarrow B\Leftrightarrow(A\rightarrow B)\land(B\rightarrow A) A↔B⇔(A→B)∧(B→A)等价的条件等于二者蕴含式的合取式
等价否定等值式 A ↔ B ⇔ ¬ A ↔ ¬ B A\leftrightarrow B\Leftrightarrow\lnot A \leftrightarrow \lnot B A↔B⇔¬A↔¬B等值式的否定也是成立的
归谬论 ( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) ⇔ ¬ A (A\rightarrow B)\land(A\rightarrow \lnot B)\Leftrightarrow\lnot A (A→B)∧(A→¬B)⇔¬A这种情况下，A为真的话，后面一定为假，所以它只等价于其的否定式

代入实例：就是将具体的公式带入

例：

等值式为： A → B ⇔ ¬ A ∨ B A\rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A\lor B A→B⇔¬A∨B

带入： A = p ∨ q ∨ r ;    B = p ∧ q A=p\lor q\lor r;\;B=p\land q A=p∨q∨r;B=p∧q

即： ( p ∨ q ∨ r ) → ( p ∧ q ) ⇔ ¬ ( p ∨ q ∨ r ) ∨ ( p ∧ q ) (p\lor q\lor r)\rightarrow (p\land q)\Leftrightarrow \lnot(p\lor q\lor r)\lor (p\land q) (p∨q∨r)→(p∧q)⇔¬(p∨q∨r)∨(p∧q)

置换规则：如果公式 A ⇔ B A\Leftrightarrow B A⇔B；则 ϕ ( A ) ⇔ ϕ ( B ) \phi(A)\Leftrightarrow \phi(B) ϕ(A)⇔ϕ(B)（简而言之：就是等值演算中公式互换）

2.2 析取范式与合取范式

简单析取（合取）式的概念：由有限个析取（合取）式和否定式构成

简单析取（合取）范式的概念：由有限个简单合取（析取）式通过析取（合取）联结词构成

一个文字既是简单析取式，又是简单合取式

范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。

题型：求给定范式的步骤：

命题公式的析取（合取）范式不是唯一的，可以用很多种

极小（极大）项的概念：命题变项或他它的否定式按照下标从小到大或按照字典顺序排列，称这样的简单合取（析取）式为极小（极大）项（简而言之：合取式极小但用于析取方式，析取式极大但用于合取范式）

主析取（合取）范式的概念：所有合取（析取）式都是最小（最大）值组成的析取（合取）范式

记忆：我们使用的是，主析取范式，用的是最小值，析取联结词，置1的条件

极大值的否定式与极小值等值： ¬ m i ⇔ M i \lnot m_i\Leftrightarrow M_i ¬mi​⇔Mi​

注意点：极小项是正常的正负，极大项是反过来的（就是非为1）；极大成假值，极小成真值

主析取范式的作用：

2.3 联结词的完备集

n元真值函数的概念： F : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } F:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\} F:{0,1}n→{0,1}；F的自变量为n个命题变项，定义域 { 0 , 1 } n = { 00...0 , 00...1 , . . . , 11...1 } \{0,1\}^n=\{00...0,00...1,...,11...1\} {0,1}n={00...0,00...1,...,11...1}，由0和1组成长度为n的符号串的全体，值域为 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}；所以n个命题变项可以构成 2 2 n {2^{2}}^{n} 22n个不同的真值函数-

每一个真值函数都与唯一的一个主析取范式等值；但每个主析取范式对应无穷多个等值的命题公式；每一个命题公式又都又唯一的主析取范式，所以：每个真值函数对应无穷多个等值的命题公式，每个媒体公式对应都对应这唯一的等值的真值函数

联结词完备集的概念：任何n元真值函数都可以由仅含联结词集合中的联结词构成的公式，则该联结词集合为联结词完备集（简而言之：这些联结词通过等值演算可以推出其他所有联结词即成立）

{ ¬ , ∧ , ∨ } \{\lnot,\land,\lor\} {¬,∧,∨}是联结词完备集（只要联结词互相可以推出完备集的话，也是完备集）

p与q的否定式，称作p,q的与非式，记作p↑q，即p↑q⇔¬(p∧q)，符号↑称作与非联结词

p或q的否定式，称作p,q的或非式，记作p↓q，即p↓q⇔¬(p∨q)，符号↓称作与非联结词

{↓},{↑}都是联结词完备集

第三章 命题逻辑的推理理论

3.1 推理的形式结构

有效的结论的概念：设 A 1 , A 2 , . . . , A k 和 B A_1,A_2,...,A_k和B A1​,A2​,...,Ak​和B是命题公式，对其中出现的命题变项的任意一组赋值，或者 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . ∧ A k A_1\land A_2\land...\land A_k A1​∧A2​∧...∧Ak​为假，或者 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . ∧ A k A_1\land A_2\land...\land A_k A1​∧A2​∧...∧Ak​为真时，B也为真，则称由前提 A 1 , A 2 , . . . , A k A_1,A_2,...,A_k A1​,A2​,...,Ak​推出结论B的推理是有效的，并称B为有效的结论（简而言之：就是前提<注意是合取>当作蕴含式的前件，结论当成蕴含式的后件，全部情况符合蕴含式的条件即正确）记作： { A 1 , A 2 , . . . , A k } ⊨ B \{A_1,A_2,...,A_k\}\vDash B {A1​,A2​,...,Ak​}⊨B（等同于 A 1 ∧ A 2 ∧ . . . ∧ A k ⇒ B A_1\land A_2\land...\land A_k\Rightarrow B A1​∧A2​∧...∧Ak​⇒B）；反之加斜杠；记 { A 1 , A 2 , . . . , A k } ⊢ B \{A_1,A_2,...,A_k\}\vdash B {A1​,A2​,...,Ak​}⊢B为推理的形式结构

⇒ \Rightarrow ⇒是元语言符号，表示蕴含式为重言式

判断推理的形式结构是否正确：

写题过程：①简单命题符号化；②设出前提，结论和推理的形式结构

推理定律

名称公式理解（一般只需要考虑前真的情况对后面的影响）
附加律 A ⇒ ( A ∨ B ) A\Rightarrow (A\lor B) A⇒(A∨B)前真后必真
化简律 ( A ∧ B ) ⇒ A (A\land B)\Rightarrow A (A∧B)⇒A前真后必真
假言推理 ( A → B ) ∧ A ⇒ B (A\rightarrow B)\land A\Rightarrow B (A→B)∧A⇒B
拒取式 ( A → B ) ∧ ¬ B ⇒ ¬ A (A\rightarrow B)\land\lnot B\Rightarrow \lnot A (A→B)∧¬B⇒¬A
析取三段论 ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⇒ A (A\lor B)\land\lnot B\Rightarrow A (A∨B)∧¬B⇒A
假言三段论 ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C ) (A\rightarrow B)\land(B\rightarrow C)\Rightarrow(A\rightarrow C) (A→B)∧(B→C)⇒(A→C)
等价三段论 ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) (A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)\Rightarrow (A\leftrightarrow C) (A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)
构造性二难 ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) ( A → B ) ∧ ( ¬ A → B ) ⇒ B (A\rightarrow B)\land (C\rightarrow D)\land(A\lor C)\Rightarrow(B\lor D)\\(A\rightarrow B)\land (\lnot A\rightarrow B)\Rightarrow B (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)(A→B)∧(¬A→B)⇒B
破坏性二难 ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( ¬ B ∨ ¬ D ) ⇒ ( ¬ A ∨ ¬ C ) (A\rightarrow B)\land(C\rightarrow D)\land (\lnot B\lor\lnot D)\Rightarrow(\lnot A\lor\lnot C) (A→B)∧(C→D)∧(¬B∨¬D)⇒(¬A∨¬C)

3.2 自然推理系统

形式系统 I I I的概念：由四个部分组成

I I I记为4元组 < A ( I ) , E ( I ) , A x ( I ) , R ( I ) > <A(I),E(I),A_x(I),R(I)> <A(I),E(I),Ax​(I),R(I)>；其中 < A ( I ) , E ( I ) > <A(I),E(I)> <A(I),E(I)>是 I I I的形式语言系统，而 < A x ( x ) , R ( I ) > <A_x(x),R(I)> <Ax​(x),R(I)>为 I I I的形式演算系统

形式系统分为两类：

自然推荐系统P的定义：

构造证明方法：

3.3 消解证明法（会写题，要考）

基本做法：把前提中公式和结论的否定都化成等值的合取范式，以这些合取范式中的所有简单析取式作为前提，用消解规则构造证明，得到空式，则证明正确。（只使用了前提引入和消解两条规则）

例题：

前提： q → p , q ↔ s , s ↔ t , t ∧ r q\rightarrow p,q\leftrightarrow s,s\leftrightarrow t,t\land r q→p,q↔s,s↔t,t∧r

结论： p ∧ q ∧ s p\land q\land s p∧q∧s

解：先求前提中各式的合取范式，和结论否定的合取范式
p → p ⇔ ¬ q ∨ p q ↔ s ⇔ ( ¬ q ∨ s ) ∧ ( ¬ s ∨ q ) s ↔ t ⇔ ( ¬ s ∨ t ) ∧ ( ¬ t ∨ s ) t ∧ r ¬ ( p ∧ q ∧ s ) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ s p\rightarrow p \Leftrightarrow \lnot q\lor p\\ q\leftrightarrow s \Leftrightarrow(\lnot q\lor s)\land(\lnot s\lor q)\\ s\leftrightarrow t \Leftrightarrow(\lnot s\lor t)\land (\lnot t \lor s)\\ t\land r\\ \lnot(p\land q\land s)\Leftrightarrow \lnot p\lor \lnot q\lor \lnot s p→p⇔¬q∨pq↔s⇔(¬q∨s)∧(¬s∨q)s↔t⇔(¬s∨t)∧(¬t∨s)t∧r¬(p∧q∧s)⇔¬p∨¬q∨¬s
前提改成： ¬ q ∧ p , ¬ q ∨ s , ¬ s ∨ q , ¬ s ∨ t , ¬ t ∨ s , t , r , ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ s \lnot q\land p,\lnot q\lor s,\lnot s\lor q,\lnot s\lor t,\lnot t\lor s,t,r,\lnot p\lor\lnot q\lor \lnot s ¬q∧p,¬q∨s,¬s∨q,¬s∨t,¬t∨s,t,r,¬p∨¬q∨¬s

证明：

  1. ¬ t ∨ s \lnot t\lor s ¬t∨s 前提引入
  2. t t t 前提引入
  3. s s s 12归结
  4. ¬ s ∨ q \lnot s\lor q ¬s∨q 前提引入
  5. q q q 34归结
  6. ¬ q ∨ p \lnot q\lor p ¬q∨p 前提引入
  7. p p p 56归结
  8. ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ s \lnot p\lor\lnot q\lor\lnot s ¬p∨¬q∨¬s 前提引入
  9. ¬ q ∨ ¬ s \lnot q\lor \lnot s ¬q∨¬s 78归结
  10. ¬ s \lnot s ¬s 59归结
  11. 空式 3 10归结

第四章 一阶逻辑基本概念

一阶逻辑也称作一阶谓词逻辑或谓词逻辑

4.1 一阶逻辑符号化

个体词的基本概念：是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。

谓词的概念：是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词（一般用F,G,H）

例子：

2是整数。

2是个体常项，“…是整数”是谓词，记作F；所以上述句子可以表示为F（2）

x与y具有关系L。

x,y是两个个体变项，L是谓词，该句符号化为L（x,y）

谓词常项，具有确定的关系；谓词变项，关系式未知的。

n元谓词的概念：含有n(n≥1)个谓词变项的谓词P，记作P(x1,x2,…,xn)

当n为1时，P(x1)表示x1具有性质P

当n≥2时，P(x1,x2,…,xn)表示x1,x2,…,xn之间具有关系P

0元谓词：不带个体变项的谓词；当谓词是常项谓词的话，0元谓词为命题

量词的概念：表示个体常项或变项之间数量关系的词

一阶命题符号化解题思路:

4.2一阶逻辑公式及其解释

一阶语言的概念：是用于一阶逻辑的形式语言；一阶逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系

非逻辑符号：个体常项符号，函数符号，谓词符号

逻辑符号：个体变项符号，量词符号，联结词符号和括号与逗号

一阶语言的字母表：L是一个非逻辑符号集合，由L生成的一阶语言的字母表如下：

一阶语言项的定义：

原子公式的概念：F（x1,x2,…）是一阶语言的n(n≥1)元谓词，t1,t2,t3…是一阶语言的n个项，则R(t1,t2,t3…)是一阶语言的原子公式

合式公式（谓词公式，简称公式）：原子公式是合式公式，通过原子公式和逻辑符号组合

概念：在公式∀xA中，x为指导变元，A为量词的辖域，在∀x的辖域中，x的所有出现都称约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为自由出现。

∀xF(x,y)，x是约束出现，y是自由出现

注意点：在一个公式中，约束出现和自由出现是对于特定的辖域中讨论，不能跳辖域讨论

封闭的公式（闭式）：A中不含有自由出现的个体变项

解释的概念：对个体域及个体常项符号，函数符号，谓词符号的指定称为解释

赋值的概念：指定自由出现的个体变项的值称为赋值

一阶语言（由非逻辑符号集合 L L L）的解释 I I I由下面四个部分组成：

I I I下的赋值 σ \sigma σ：对每一个个体变项符号x指定 D I D_I DI​中的一个值 σ ( x ) \sigma(x) σ(x)

解释的具体解释和赋值下（定义4.7），直接替代即可，解释和赋值后的任何公式都为命题。

特别地，对于闭式，由于没有自由出现个体变项符号，所以不要赋值，只需要解释即可。

公式类型

注意点：由于公式中的谓词和函数可以走各种不同的解释，使得情况变得异常复杂，永真式或永假式一般是不可判断的

代换实例：就是把公式中的公式替换会 p , q , r p,q,r p,q,r，再根据公式来判断永真式等

（结论记住了，反过来的）重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。

写题技巧：判断公式是否为永真式或矛盾式

第五章 一阶逻辑等值演算

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则

双重否定句变肯定，有两种表达形式

等值式的概念：A,B是一阶逻辑中任意两个公式，如果 A ↔ B A\leftrightarrow B A↔B是永真式，则称A,B等值，记作 A ⇔ B A\Leftrightarrow B A⇔B.称 A ⇔ B A\Leftrightarrow B A⇔B是等值式。

基本等值式：

等值演算中的命题公式换成一阶逻辑公式的16个公式

5.2 一阶逻辑前束范式

前束范式的概念：具有如下形式：Q1x1Q2x2…QkxkB的一阶逻辑公式称作前束范式，其中Qi(1≤i≤k)为∀和∃，B为不含量词的公式（简而言之：量词都在前面）

例如：∀x∃y（F(x)∧G(y)）(√)

∀x（F(x)→∃y（G(y)∧H（x,y）））(×)

前束范式存在定理：一阶逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式

求解前束范式：

5.3 一阶逻辑的推理理论

推理结构还是蕴含式

推理定律

第六章 集合代数

6.1 集合的基本概念

集合通常用大写的英文字母来标记

集合的表示方法：

集合的元素是彼此不同的；集合是无序的

元素和集合的关系：元素和集合是属于和不属于关系，使用 ∈ , ∉ \in,\notin ∈,∈/​

集合和集合的关系：集合和集合是包含和不包含关系，使用 ⊂ , ⊆ , ⊊ \subset,\subseteq,\subsetneq ⊂,⊆,⊊

空集的特殊性：空集是唯一的，是一切集合的子集

含有n个元素的集合简称为n元集合，它的含有m(m≤n)个元素的子集合称为它的m元子集。（一元子集为单自子集）

幂集的概念：A的全体子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)

全集的概念：在某一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，那么这个集合为全集记为E

6.2 集合的运算

集合的基本运算有并，交，相对补和对称差

相对补集的概念：B对A的相对补集A-B（简而言之：属于A并且不属于B）

对称差集的概念：A与B的对称差集A⊕B定义为A⊕B=(A-B)∪(B-A)（或A⊕B=(A∪B)-(A∩B)）（简而言之：两个集合的并集减去两个集合的交集）

绝对补集的概念：需要给定全集E即可，全集E中的补集

集合A的广义并的概念：就是所有元素的元素构成,记为∪A

集合A（A为非空集合）的广义交的概念：就是所有元素的公共元素构成，记为∩A；

注意：广义交和广义并操作后需要减去一层集合（就是要删去一个大括号）

规定:

6.3 有穷集的计数

文氏图计算：会画图即可

包含排斥原理计算：考试一般都是三个计算，设未知数即可

6.4 集合恒等式（写过了，不会再来总结）

第七章 二元关系

7.1 有序对与笛卡尔积

有序对

又称序偶

表示形式：<x, y>；x是第一元素，y是第二元素

性质：

笛卡尔积

表示形式： A × B = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A×B = \{<x,y>|x\in A \land y\in B\} A×B={<x,y>∣x∈A∧y∈B}

理解：前面元素来自前面的集合，后面的元素来自后面的集合

性质：

7.2 二元关系

二元关系

二元关系（简称关系）的集合都满足下面的条件之一：

表示形式： < x , y > ∈ R ⇒ x R y < x , y > ∉ R ⇒ x R ( R 上 有 条 斜 杠 ) y <x,y>\in R\Rightarrow xRy\\ <x,y>\notin R \Rightarrow xR(R上有条斜杠)y <x,y>∈R⇒xRy<x,y>∈/​R⇒xR(R上有条斜杠)y

一些特殊关系：

表示关系的方法

7.3 关系的运算

习惯：

定义域： d o m R = { x ∣ ∃ y ( < x , y > ∈ R ) } domR=\{x|\exists y(<x,y>\in R)\} domR={x∣∃y(<x,y>∈R)}

理解：R中所有第一元素组成的集合

值域： r a n R = { y ∣ ∃ x ( < x , y > ∈ R ) } ranR=\{y|\exists x(<x,y>\in R)\} ranR={y∣∃x(<x,y>∈R)}

理解：R中所有第二元素组成的集合

域： f l d R = d o m R ∪ r a n R fldR=domR\cup ranR fldR=domR∪ranR

理解：R中所有元素的集合

逆关系： R − 1 = { < x , y > ∣ < y , x > ∈ R } R^{-1} = \{<x,y>|<y,x>\in R\} R−1={<x,y>∣<y,x>∈R}

G对F的右复合： F o G = { < x , y > ∣ ∃ t ( < x , t > ∈ F ∧ < t , y > ∈ G ) } FoG=\{<x,y>|\exist t(<x,t>\in F \land <t,y>\in G)\} FoG={<x,y>∣∃t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)}

理解：以某个数为连接数，将两个关系连接起来

R在A上的限制： R ∣ A = { < x , y > ∣ x R y ∧ x ∈ A } R|A=\{<x,y>|xRy\land x\in A\} R∣A={<x,y>∣xRy∧x∈A}

理解：关系R在A的定义域中的集合

A在R下的像： R [ A ] = r a n ( R ∣ A ) R[A]=ran(R|A) R[A]=ran(R∣A)

理解：关系R在A的定义域下的集合的值域

R的n次幂： R 0 = { < x , x > ∣ x ∈ A } = I A ( R 为 A 的 关 系 ) R n + 1 = R n o R R^0 =\{<x,x>|x\in A\} =I_A(R为A的关系)\\ R^{n+1}=R^noR R0={<x,x>∣x∈A}=IA​(R为A的关系)Rn+1=RnoR

技巧：

注意：关系运算的逆运算优先于其他运算，所有关系运算都优先于集合运算

关系的基本运算

7.4 关系的性质

自反性： ∀ x ( x ∈ A → < x , x > ∈ R ) \forall x(x\in A\rightarrow <x, x>\in R) ∀x(x∈A→<x,x>∈R)，R在A上是自反的

理解：所有A中的元素，在R中都有一二序列相等的有序对

理解（课本给出的，下面也提到，加深印象）：R包含 I A I_A IA​

反自反性： ∀ x ( x ∈ A → < x , x > ∉ R ) \forall x(x\in A\rightarrow <x,x>\notin R) ∀x(x∈A→<x,x>∈/​R)，R在A上是反自反的2

理解：所有的A中的元素，在R中都没有一二序列相等的有序对

对称性： ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y > ∈ R → < y , x > ∈ R ) \forall x\forall y(x,y\in A\land<x,y>\in R\rightarrow <y,x>\in R) ∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R)，R为A上对称的关系

理解：所有在R中一二序列元素属于A集合中的有序对的逆序对也存在R中

反对称性： ∀ x ∀ y ( x , y ∈ A ∧ < x , y > ∈ R ∧ < y , x > ∈ R → x = y ) \forall x\forall y(x,y\in A\land<x,y>\in R\land<y,x>\in R\rightarrow x=y) ∀x∀y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，R为A上的反对称

理解：R中不能存在一二元素都存在于A集合中的互逆有序对（要两个的那种）

传递性： ∀ x ∀ y ∀ z ( x , y , z ∈ A ∧ < x , y > ∈ R ∧ < y , z > ∈ R → < x , z > ∈ R ) \forall x\forall y\forall z(x,y,z\in A\land <x,y>\in R\land<y,z>\in R\rightarrow<x,z>\in R) ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R)，R在A上由传递关系

理解：所有一二序列的元素相等的两个有序对的其他一二序列元素（三个元素都要存在于A集合中）

组成的有序对存在R中

一些定理（充分别要条件的）

表示自反性反自反性对称性反对称性传递性
集合表达式 I A ⊆ R I_A\subseteq R IA​⊆R R ∩ I A = ∅ R\cap I_A=\varnothing R∩IA​=∅ R = R − 1 R=R^{-1} R=R−1 R ∩ R − 1 ⊆ I A R\cap R^{-1}\subseteq I_A R∩R−1⊆IA​ R o R ⊆ R RoR\subseteq R RoR⊆R
关系矩阵主对角线全是1主对角线全是0对称矩阵 i = j → r i j = 0 i=j\rightarrow r_{ij}=0 i=j→rij​=0其他为1 M 2 M^2 M2中1所在的位置，M中相应的位置都是1
关系图每个顶点都有环每个顶点都没有环如果连个顶点有边的话，一定要有两条相反方向的边如果两个顶点有边的话，一定只能有一条单向边如果 x i x_i xi​到 x j x_j xj​右边， x j x_j xj​到 x k x_k xk​也有边的话，那么 x i x_i xi​到 x k x_k xk​之间也有边

7.5 关系的闭包

自反闭包（对称，传递） R ’ R’ R’满足的条件：

理解：在R中添加最少数量的有序对使其变成自反的（对称或传递）

一些关系：

7.6 等价关系与划分

等价关系：R是自反的、对称的和传递的，则称R是A上的等价关系； < x , y > ∈ R <x,y>\in R <x,y>∈R称x等价于y，记作x~y

等价类：
[ x ] R = { y ∣ y ∈ A ∧ x R y } [x]_R=\{y|y\in A \land xRy\} [x]R​={y∣y∈A∧xRy}
[ x ] R [x]_R [x]R​为x关于R的等价类，简称x的等价类，简记 [ x ] [x] [x]或 x ‾ \overline x x

举例说明：

设 A = 1 , 2 , 3 , 4... , 8 A={1,2,3,4...,8} A=1,2,3,4...,8，其A上的关系R为：
R = { < x , y > ∣ x , y ∈ A ∧ x ≡ y ( m o d    3 ) } R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y(mod\;3) \} R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)}
注： x ≡ y ( m o d    3 ) x\equiv y(mod\;3) x≡y(mod3)称做x于y模3相等；就是x除以3的余数和y除以3的余数相等

通过下图可以看出R是A上的等价关系

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看关系图分成三部分，每一部分所有顶点被分为一个等价类

所以上图的等价类为：

[ 1 ] = [ 4 ] = [ 7 ] = { 1 , 4 , 7 } [ 2 ] = [ 5 ] = [ 8 ] = { 2 , 5 , 8 } [ 3 ] = [ 6 ] = { 3 , 6 } [1]=[4]=[7]=\{1,4,7\}\\ [2]=[5]=[8]=\{2,5,8\}\\ [3]=[6]=\{3,6\} [1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}

同理，在整数集上模n的等价关系类似

等价关系的性质：

商集：以所有等价类作为元素的集合，称为A关于R的商集
A / R = { [ x ] R ∣ x ∈ A } A/R=\{[x]_R|x\in A\} A/R={[x]R​∣x∈A}
集合的划分：一个 π \pi π（ π ⊆ P ( A ) \pi \subseteq P(A) π⊆P(A)）满足下面条件：

划分有很多种，商集只是其中一种

7.7 偏序关系

偏序关系：R是自反的，反对称的和传递的，称R为A上的偏序关系，记作 ≤ \le ≤，设 ≤ \le ≤为偏序关系，如果 < x , y > ∈ ≤ <x,y>\in\le <x,y>∈≤，记作 x ≤ y x\le y x≤y，读作：x小于等于y

这里的小于等于不是指数的关系，而是指在偏序关系中的顺序性

x小于等与y，表示依照这个序，x排在y的前面，或x就是y

设 ≤ \le ≤为非空集合A上的偏序关系，定义：

集合A和A上的偏序关系 ≤ \le ≤一起称作偏序集，记作 < A , ≤ > <A,\le> <A,≤>
利用偏序关系的性质可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图

设 < A , ≤ > <A,\le> <A,≤>为偏序集， ∀ x , y ∈ A \forall x,y\in A ∀x,y∈A，如果 x < y x\lt y x<y且不存在 z ∈ A z\in A z∈A使得 x < z < y x\lt z\lt y x<z<y则称y覆盖x

理解：就是y只比x多一个元素

画哈斯图的步骤：

通过哈斯图得有序对：底下是第一序列往上写（下面可以跳的（传递性））

最小（大）元：只有一个（哈斯图的点没有下接）

极小（大）元：有多个（哈斯图的点没有上接）

上（下）界：在一个子集中，上界需要在子集中所有点的上（下）方（简而言之：就是某个点是连接该子集中的所有点，并且在上（下）面）

最大（小）下（上）界：最小（大）元或数值最大（小）的下（上）界；只有一个

附加

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