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关于下降幂
定义 下降幂就是形如 \(n^{\underline m}\) 的式子，表示 \[n^{\underline m} =\prod_{i=n-m+1}^n i=\frac{n!}{(n-m)!} \]同理还有一个上升幂： \[n^{\overline m}=\prod_{i=n}^{n+m-1} i=\frac{(n+m-1)!}{(n-1)!} \]注意这个地方 \(n,m\) 都可能是负数，也就是 \(n^{\underline {-m}}=卡特兰数
卡特兰数，一个特殊的数列。通项公式为： \[Cat_n=\frac {C_{2n}^n}{n+1} \]从\(0\)开始的前几项为：\(1,1,2,5,14,42,132,\cdots\)，所以有的题可以直接打个表看看（比如这个） 然后是它是怎么推出来的，最主要的就是从\((0,0)\)到\((n,n)\)不穿过直线\(y=x\)的路径计数（不想上图了，可以手画一个）神奇结论在哪里
求证： \[\sum_{i=0}^n\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}=4^n \] 首先，我们将 \(4^n\) 视为 \(2^{2n}\)，赋予其组合意义为长为 \(2n\) 的 \(0/1\) 串个数。 LHS 中组合数的结构指引我们将整个串分成两个部分，根据 \(\binom{2k}k\) 自然地想到第一部分可以是 \(0/1\) 个数相同的长度为 \(2卡特兰数学习笔记
卡特兰数（Catalan 数）学习笔记 一、引入 问题 1 由 \(n\) 个 \(+1\) 和 \(n\) 个 \(-1\) 组成的 \(2n\) 项序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_{2n}\)，求有多少种方案满足其部分和 \(a_1+a_2+\cdots+a_k \ge 0\ (k=1,2,\cdots,2n)\)。 分析 设满足条件的方案数（即答案）为 \(C_n\)，不满足条件的方案atcoder
\(ARC143\) A 给定三个整数，一次可以将两个数或三个数减一，问最少几步能减完。 设一开始三个数为 \(A,B,C(A\leq B\leq C)\)，如果 \(A+B<C\)，那么说明一定是无法满足条件的，因为 \(C\) 至多被减掉 \((A+B)\)，此时 \(C-A-B>0\)。 如果 \(A+B=C\)，那么很显然答案就是 \(C\)。 如果 \(A+「AGC036F」Square Constraints 题解
「AGC036F」Square Constraints 题解 题目大意 给定一个整数 $ n $，求有多少种 $ 0\ -\ 2n!-!1 $ 的排列 $ P $，使得对于每个 $ i $，都有 $ n^2 \le i^2 + P_i^2 \le 4n^2 $。输出答案对给定的 $ m $ 取余的结果。 输入 两个整数，$ n \(，\) m $。 输出 一个整数，表示答案。 思路 初始想「PKUSC2021」Sum Transformation 解题报告
题目描述 定义矩阵变换 \(F(P)=Q\)，其中 \(P\) 和 \(Q\) 是\(n×n\) 的矩阵且满足 \(Q_{i,j}=(\sum^{n}_{k=1}P_{k,j}+\sum_{k=1}^nP_{i,k})mod\space p\)。给定 \(T,n,p\) 和 \(n×n\) 的初始矩阵 \(A\)，求 \(A\) 经过 \(T\) 次变换后的结果矩阵。 输入格式 第一行卡特兰数
概念： 卡特兰数并不是一个确定的数，而是一类数，是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。它没有一个明确的定义，但可以通过一些模型得出关于卡特兰数的很多信息，下面介绍几个这样的问题。 问题/模型： （一）路径问题 给定 \(n*n\) 的网格(上图是一个 \(6*6\) 的网格)，初始你在左下角新高考，或许还能这么出
新高考，或许还能这么出 杭州二中 小 Z 本文仅表达我对新高考大题的一些“新颖”的思路，不一定合所有人的胃口。 本人非常喜欢抽象模型，并将一些生活实际应用到题目之中。因此，我改编 / 原创的题目满足： 抽象； 新颖； 应用性广。 可能大部分人做这些题会觉得有些不适应，但是新高考说不定就noip 2014 提高组初赛
noip 2014 提高组初赛 一、 TCP协议属于哪一层协议（ ） A. 应用层 B. 传输层 C. 网络层 D. 数据链路层 B TCP（传输控制协议） 若有变量int a; float: x, y，且a = 7，x = 2.5，y = 4.7，则 表达式 x + a % 3 * (int)(x + y) % 2 / 4的值大约是（ ） A. 2.500000 B. 2.750000 C. 3.500000 D. 0pytho代码分析示例
a = 5 b = 6 c = 10 for i in range(n): for j in range(n): x = i * j y = j * j z = i * j for k in range(n): w = a * k + 45 v = b * b d = 33 分析如下 赋值操作的数量是4项之和：T(n)=3+3n^2+2n+1. 第1项是常数3，对应起始部分的3条赋值语句 第2项是3n^2，因CF367E Sereja and Intervals
written on 2022-05-06 这题简单，先给这题写题解 套路题，为每个区间分配左右端点，那不就是在长度为 \(m\) 的数轴上任取 \(2n\) 个点吗？然后考虑题目的要求，区间两两不包含。 对于这个要求，我们发现，对于同一数轴上的几个区间，要求不互相包含，在已经确定所有左右端点的情况下，方案数是唯一AtCoder Regular Contest 145
\(\text{AtCoder Regular Contest 145}\) 目录\(\text{AtCoder Regular Contest 145}\)\(\text A\)\(\text B\)\(\text C\)\(\text D\) \(\text A\) 过于简单，略 \(\text B\) 虽然简单但是细节特别多，略 \(\text C\) 题意： 给你一个数 \(n\)，我们定义一个长度为 \(2n\) 的排列 \(数学-满足条件的01序列-卡特兰数
C++ AcWing 889. 满足条件的01序列 /* * 问题描述: * 给定 n 个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列， * 求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。 * 输出的答案对 109+7 取模。 *C++洛谷初赛题解——2019
CSPJS的第一年，也是C++洛谷初赛题解CSPJ部分的最后一期，那就是2019年。这期会对C++洛谷初赛题解专栏内容做出一些调整。 第一题 题目与选项： 中国的国家顶级域名是（） A. .cn B. .ch C. chn D. china 答案与解析： A 典型的国家顶级域名有.cn （中国）、.us （美国）、.uk（英国）、.jp （日本）紫书学习 10.数学概念与方法--递推和计数问题
紫书给出了三个非常经典的递推模型。 汉诺塔问题 要求将A杆子的圆盘全部移到B杆子，并保持同样的叠放顺序。 要求： 每次只能移动顶部的盘子。 圆盘可以插在任一杆子上。 任何时刻都不能把小盘放在大盘上面。 求移动需要的步数。 解法： 假设移动n个盘子的方案是\(f(n)\)，要把n个盘子紫书学习 10.数学概念与方法--递推和计数问题
紫书给出了三个非常经典的递推模型。 汉诺塔问题 要求将A杆子的圆盘全部移到B杆子，并保持同样的叠放顺序。 要求： 每次只能移动顶部的盘子。 圆盘可以插在任一杆子上。 任何时刻都不能把小盘放在大盘上面。 求移动需要的步数。 解法： 假设移动n个盘子的方案是\(f(n)\)，要把n个盘子关于卡特兰数
//声明：非原创什么是卡特兰数？明安图数，又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列。以中国蒙古族数学家明安图 (1692-1763)和比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为（从第零项开始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 42【JavaScript_BigInt】BigInt的使用和注意事项
BigInt的定义 BigInt 是一种内置对象，它提供了一种方法来表示大于 2^53 - 1 的整数。这原本是 Javascript 中可以用 Number 表示的最大数字,也叫做最大安全整数。BigInt 可以表示任意大的整数。 安全整数的范围 超过这个范围，number类型的数字将会失去精度 Number.MAX_SAFE_INTE结构伪类
一、结构伪类选择器 1、作用与优势： 作用：根据元素在HTML中的结构关系查找元素 优势：减少对于HTML中类的依赖，有利于保持代码整洁 场景：常用于查找某父级选择器中的子元素 2、选择器 选择器 说明 E:first-child{} 匹配父元素中第一个子元素，并且是E元素 E:last-child{} 匹配洛谷 P5461 赦免战俘
题目背景 借助反作弊系统，一些在月赛有抄袭作弊行为的选手被抓出来了！ 题目描述 现有 2^n\times 2^n (n\le10)2n×2n(n≤10) 名作弊者站成一个正方形方阵等候 kkksc03 的发落。kkksc03 决定赦免一些作弊者。他将正方形矩阵均分为 4 个更小的正方形矩阵，每个更小的矩阵的边长是原深入理解时间复杂度
时间复杂度 O(f(n)) 算法需要执行基本运算的次数的 级别。 一，思考 目前个人认为：时间复杂度实际就是考量两种情况。 1. 循环 for（），while（） 2. 递归 二，何为n 理论上指：问题规模。 拆开来说，就是for（），while（）循环了n次，递归了多少次（递归的情况略微复杂）。 三，何为f(n) 算法执行基本运算的次卡塔兰数
卡特兰数的英文维基讲得非常全面，强烈建议阅读！ Catalan number - Wikipedia (本文中图片也来源于这个页面) 由于本人太菜，这里只选取其中两个公式进行总结。 （似乎就是这两个比较常用？） 首先先扔卡特兰数的定义式 Catalann=∑i=1n−1Catalani∗Catalann−iCatalann=∑i=1n−1Catalani【数据结构】排序算法比较及一些总结
交换类排序趟数与初始状态有关； 选择、直接插入、折半插入、基数排序与初始状态无关； 序列初始状态基本有序：选用直接插入、冒泡排序； \(n\) 较小（\(n≤50\)）：用直接插入、简单选择排序； \(n\) 较大，用 \(O(n\log_2n)\)：快速排序（平均时间最短）、堆排序（辅助空间少于快排的\(O(\log_2n)\)）、归[AGC036F] Square Constraints
一、题目 点此看题 二、解法 根据 \(\tt EI\) 所说：尝试利用各种意义上的直观。我们把问题放在二维平面上，那么问题变成了，在两个圆之间的圆环区域中放置 \(2n\) 个车，要求车都放在整点上，且互不攻击的方案数，如图： 设每个点可放置的上下边界分别是 \([L_i,R_i]\)，但这样貌似还是不好做。