质数

定义

若一个数，只有一和它本身两个因子，那么这个数就是一个质数

判断一个数是不是质数的方法

试除法

bool pd(int x)
{
	if(x<2) return 0;
	for(int i=2;i<=sqrt（x）;i++)
	{
		if(x%i==0) 
		return 0;
	}
	return 1;
} 

看着就知道这就是傻瓜思路,一个一个试,试到sqrt(x).(傻瓜思路不解释了)

如何筛出质数(用于预处理数组)
1.埃氏筛
利用已经筛出的素数去筛别的素数.
代码如下

int n,prime[N];
void p()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    	if(prime[i]) 
    	continue;
        for(int j=2;i*j<=n;j++) 
        prime[i*j]=1;
    }
    return ;
}

2.欧拉筛
比线性筛的复杂度更低一点
每次只用一个数用小于当前这个数最小质因子的质数去筛其他数
代码如下

int n,prime[N],cnt;
bool vis[N];
void p()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    	if(!vis[i]) 
    	prime[++cnt]=i;
    	for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
        	vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            break;
    	}
    }
}	

当然不会上面两个你也可以一个个枚举然后试除

质因数分解
根据上面两个筛法,我们可以把一个数分解成几个质数次方的乘积.

约数

定义

若整数n可以被整数x整除,那么记x为n的约数.x|n.

求 N N N的正约数的集合

对于任意的 d ∣ n d|n d∣n，只要扫描 1 ⋯ n 1\cdots\sqrt n 1⋯n ​就能找到n的所有正约数。
代码如下

int factor[N] ,；
int tot = 0;
for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
{
	if(n%i) 
	continue;
	factor[++tot]=i;
	if(i!=n/i) 
	factor[++tot]=n/i;
}

最大公约数

定义

若自然数 d d d同时是 a a a和 b b b的约数，则称 d d d是 a a a和 b b b的公约数

在所有的公约数中最大的一个就是最大公约数，记作 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)

最小公倍数

定义

若自然数 m m m同时是 a a a和 b b b的倍数，则成 m m m是 a a a和 b b b的公约数

在所有的公倍数中最小的一个就是最小公倍数，记住 l c m ( a , b ) lcm(a,b) lcm(a,b)

引理

l c m ( a , b ) ∗ g c d ( a , b ) = a ∗ b lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b lcm(a,b)∗gcd(a,b)=a∗b

证明

设 x = g c d ( a , b ) , a 0 = a x , b 0 = b x x=gcd(a,b),a_0=\frac{a}{x},b_0=\frac{b}{x} x=gcd(a,b),a0​=xa​,b0​=xb​

根据定义得 g c d ( a 0 , b 0 ) = 1 gcd(a_0,b_0)=1 gcd(a0​,b0​)=1
l c m ( a 0 , b 0 ) = a o × b 0 lcm(a_0,b_0)=a_o\times b_0 lcm(a0​,b0​)=ao​×b0​
所以 l c m ( a , b ) = l c m ( a 0 × d , b 0 × d ) = l c m ( a 0 , b 0 ) × d = a 0 × b 0 × d = a × b d lcm(a,b)=lcm(a_0\times d,b_0\times d)=lcm(a_0,b_0)\times d=a_0\times b_0 \times d = \frac{a \times b }{d} lcm(a,b)=lcm(a0​×d,b0​×d)=lcm(a0​,b0​)×d=a0​×b0​×d=da×b​
证毕。

欧几里得算法

我们或许可以叫他辗转相除法？
任取 a , b ∈ N , b ≠ 0 , g c d ( a , b ) = g c d ( b , a m o d    b ) a , b \in N , b \ne 0, gcd(a,b) = gcd(b , a \mod b) a,b∈N,b​=0,gcd(a,b)=gcd(b,amodb)
就是这个式子，证明就略了
代码如下

int gcd( a , b ) 
{ 
	return b ? gcd( b , a % b ) : a; 
} 

互质

定义

如果两个数的最大公约数为1，即 g c d ( a , b ) = 1 gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1,那么就称这两个数互质
对于三个数来说同理.

欧拉函数

定义

1 ⋯ N 1\cdots N 1⋯N中与N互质的数的个数，被称为欧拉函数，记作 ϕ ( N ) \phi(N) ϕ(N)
求法:在筛因数的时候顺便 求解
代码如下

int phi( int x )
{
	int ans=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i) continue;
		ans=ans/i*(i-1);
		while(x%i==0)n/=i;
	}
	if(n>1)
	ans=ans/n*(n-1);
	return ans ;
}

性质

1. ∀ n > 1 , 1 ⋯ n 中 与 互 质 的 数 的 和 为 n × ϕ ( n ) / 2 \forall n > 1 , 1\cdots n中与互质的数的和为n\times \phi(n) / 2 ∀n>1,1⋯n中与互质的数的和为n×ϕ(n)/2
2. 若a,b互质，则 ϕ ( a b ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) \phi(ab)=\phi(a)\phi(b) ϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)

就这就这,看完了的你不给个赞吗?
下面是同余时间!!!

标签：约数,gcd,int,没用,质数,times,b0,lcm,互质
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44221747/article/details/116405346