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同余的三个基本运算
性质： 如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。 如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。 如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) (x%d+d)%d//为了防止负数[数学记录]CF896D Nephren Runs a Cinema
题意：给定 \(n=x+y+z\)，求满足以下要求的长度为 \(n\) 的序列的数目：序列由 \(x\) 个 \(1\)，\(y\) 个 \(-1\)，\(z\) 个 \(0\) 组成，序列任意前缀和非负，和在 \([l,r]\) 之间。 考虑确定 \(z\) 和序列和的方案数。 看做卡特兰数类似折线图考虑。则在不能过线的前提下要到 \((x+1,y-x)\)。代码源#960. 一个大整数（用DP实现组合计数）
题目： 给出一个很大的整数x，以质因数分解的方式给出，请问有多少对x的因子是互质的。 分析： 来枚举一下样例，可以发现12的因子有1,2,3,4,6,12。互质的因子对为(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6),(1, 12), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2),(3, 4), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (数论笔记（1）
1、模运算的性质： 加法： \[(A+B)\,mod\,C=(A\,mod\,C+B\,mod\,C)\,mod\,C \] 乘法： \[(A \times B)\,mod\,C=[(A\,mod\,C)\times (B\,mod\,C)]\,mod\,C \] 减法： \[(A - B)\,mod\,C = [(A\,mod\,C)-(B\,mod\,C)+C]\,mod\,C \]2、快速幂： 因为\(a^b\)可以看做成[AcWing 1118] 分成互质组
DFS 点击查看代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 50 + 10; int n; int a[N]; int len, ans = 1e9; vector<int> g[N]; // 判断数字y能否放到第k组 bool inline check(int k, int y) { for (auto& x : g[k])欧拉函数(欧拉函数是求小于 x 并且和 x互质 的数的个数)
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn) φ(1)=1 1.欧拉函数是积性函数——若 m,n 互质，φ(mn)=φ(m)φ(n) 2.若 n 是素数 p 的 k 次幂，φ(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，也就是在p的基础上乘上(p-1) 因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质 void get_eulers(int n) {1020 [SDOI2008]仪仗队 素数筛新模板 欧拉函数
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/26656/1020来源：牛客网 题目描述 作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。 仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队[AGC010E] Rearranging
来源 \(Atcoder\) \(Grand\) \(Contest\) \(010E\) 算法标签 高质量思维题 题目难度 \(AT\) 官方评分 \(3800+\) ,按 \(CF\) 评分差不多 \(3100\) 。 题意 有一个 \(n\) 个数组成的序列 \(a_i\) ，第一个人会把整个序列任意排列，然后第二个人可以选择两个相邻的互质的数交换位置。 第扩欧求逆元
古老的故事，但我确实想不起来了。 逆元的定义是 \(x\times a\equiv 1\pmod{b}\) ，等价于 \(x\times a=1+y\times b\)，即是 \(x\times a+y\times (-b)=1\)，用扩欧解方程即可。 有局限，根据扩欧的要求，上述柿子中的 a 和 b 必须互质，所以就有 CRT 和 EXCRT 的分别。但它又比费马小定理求逆欧拉函数
定义 欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1 计算通式 φ(x)=x\(\prod_{i=0}^n(1-\frac{1}{p_i})\) φ(1)=1 其中\(p_1,p_2 \cdots p_n\)为x的所有质因数，x是正整数。 理解：对于x的一个质因数\(p_i\)，因为x以内\(p_i\)的倍数是均匀分布的，所以x以内【数论总结】
一、中国剩余定理 问题 求解线性同余方程组： \(\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\x\equiv a_2\pmod{ m_2}\\ \dots\\x\equiv a_n\pmod {m_n} \end{cases}\) 弱化版（保证\(m_i\)两两互质） 可以证明此时一定有解，且可以构造出一个解\(x_0\)，那么通解显然为\(x\equiv x_0\pmod {\opdls的数论-中国剩余定理
简介 求解线性同余方程组：x=ai(mod mi) mi之间两两互质，并不是所有的gcd=1，比如6，10，5就不是 则在模mi乘积的范围内的有唯一解 要求两两互质是由于求解的让Mi和mi是互质的 基本上useless,条件比较苛刻 不互质增量法：不断地合并两个方程，最后只剩一个acwing 1118. 分成互质组（dfs搜索+剪枝）
目录题目描述输入格式输出格式数据范围输入样例：输出样例：dfs剪枝搜索分析代码时间复杂度参考文章 题目传送门 题目描述 给定 nn 个正整数，将它们分组，使得每组中任意两个数互质。 至少要分成多少个组？ 输入格式 第一行是一个正整数 nn。 第二行是 nn 个不大于10000的正整数。 输出格CF1109E Sasha and a Very Easy Test 题解
CF1109E in luogu 题意简述： 维护一个序列，给定三种操作：区间乘，单点除，区间求和。任意模数。 思路： 操作就这么个操作，线段树套上就没了，重点在于任意模数的除法，不然这也不会是黑题了。 除数与模数不一定互质那就没法求逆元了。既然如此那就把数分为互质的部分和不互质的部分，不就解决了2021.01.25包子凑数
2021.01.25包子凑数 题目描述 有n种蒸笼，每种有无限个，且每种可以蒸Ai个包子，问有多少种包子个数是蒸不出来的。如果有无限多个，输出INF。 输入格式 第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100) 以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100) 输出格式 一个整数代表答案。如果凑不出的AcWing 1118. 分成互质组
题目传送门 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 20; const int INF = 0x3f3f3f3f; int n, a[N], ans = INF; int len; //现有组的数量 vector<int> g[N]; //最大公约数，辗转相除法 inline int gcd(int a, int b) { if (b == 0) return a; retu【数论】欧拉函数（基本性质、递推法、公式法、线性筛法）
文章目录 欧拉函数分解质因数法递推法求单个欧拉函数线性筛 欧拉函数 欧拉函数 φ ( n ) \varphi(n)分成互质组_DFS
分成互质组 给定 n 个正整数，将它们分组，使得每组中任意两个数互质。 至少要分成多少个组？ 输入格式 第一行是一个正整数 n。 第二行是 n 个不大于10000的正整数。 输出格式 一个正整数，即最少需要的组数。 数据范围 1 ≤ n ≤ 1 输入样例： 6 14 20 33 117 143 175最大公约数、最小公倍数、辗转相除法的求解和证明
两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor,GCD）在计算机中通常使用辗转相除法计算，最小公倍数（Least Common Multiple, LCM）可以使用GCD来计算。下面首先介绍GCD和LCM。然后介绍辗转相除法的计算形式，并证明为什么可以得出GCD。 最大公约数 性质 若正整数$\{a_1,a_2,...,2022蓝桥赛前训练最大最小公倍数
思路：若n 和 n-1和n-2 三个数 两两互质的话，那么结果就是这三个数的积，也就是两奇一偶 根据数论知识：任意大于1的两个相邻的自然数都是互质的. 我们可以知道，当n是奇数时，n 和n-2都是奇数，n-1是偶数,那么他们三个的公约数肯定不是2,而因为这三个数是连续的，所以大于2的数都不可能成为他Leetcode-1447. 最简分数
链接 1447. 最简分数 题目 给你一个整数 n ，请你返回所有 0 到 1 之间（不包括 0 和 1）满足分母小于等于 n 的 最简 分数 。分数可以以 任意 顺序返回。 示例 示例 1： 输入：n = 2 输出：["1/2"] 解释："1/2" 是唯一一个分母小于等于 2 的最简分数。 示例 2： 输入：n = 3 输出：["leetcode[1447]最简分数 python3实现 （判断互质，gcd求最大公约数）
# 给你一个整数 n ，请你返回所有 0 到 1 之间（不包括 0 和 1）满足分母小于等于 n 的 最简 分数 。分数可以以 任意 顺序返回。 # # # # 示例 1： # # 输入：n = 2 # 输出：["1/2"] # 解释："1/2" 是唯一一个分母小于等于 2 的最简分数。 # # 示例 2： # # 输入：n = 3 # 输出cf510 D. Fox And Jumping（dp）
题意： 给定数组 \(a_i\)，选每个数有代价 \(c_i\)。在数组中选若干个互质的数，求最小代价。 最小代价互质组 \(1\le n \le 300\) 思路： \(mp[g]\) 记录使得公因子为 \(g\) 的最小代价。数值比较离散所以开map记录。然后直接dp即可。 const int N = 310; int n, a[N], c[N]; map<int, in数论
将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做质因数分解。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用幂次的形式表示。例如360的质因数分解是： 其中的质因数2、3、5在360的质因数分解中的幂次分别是3，2，1。 互质 gcd(a,b)=1。 互质是公约RSA 加密算法
RSA加密算法是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。RSA是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年一起提出的 [1] RSA 加密算法的可靠性源自于对于极大的整数做因数分解很难在有限的时间内得到有效