海涅博雷尔定理（草根证明，自用）
作者：互联网
证明海涅博雷尔定理：
1，引理：紧集的闭子集是紧集
设，M是紧集，F是被U1,U2,U3......开集列覆盖的闭集，F属于M.
那么U1,U2,U3.....的并集再并上F的补集，就能够覆盖M(F的补集是开集）.
因为M是紧集，所以在U1,U2,U3,......并上F的补集的M的无限覆盖开集中，可以找到有限个开集覆盖M（这些集合中可以包含F的补，也可以不包含），所以也能够找到有限个开集覆盖F。
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2，引理2：有限闭区间是紧集.
如果有限闭区间，没有有限个开区间覆盖，那么至少有一个子区间存在 无穷多个开区间覆盖，这个子区间可以证明是无穷小的，而无穷小的空间是能够被别的开区间覆盖的，所以，这是矛盾的
3，定理：在Rn空间中的紧集是有界闭集
选择有限个点的有限领域，覆盖这个紧集，则证明有限个开领域的并集是有界集
证明：紧集在欧式空间是闭集
因为在m的补集外面总能找到，任意的点的领域是属于m的补集，证明m的补集是开集，（开区间和开区间，之间永远无法接触）
标签：海涅,开集,覆盖,有限,补集,紧集,自用,开区间,博雷尔 来源： https://www.cnblogs.com/ttm6489/p/16417998.html