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《数学分析》笔记：实数集和函数 2

2021-09-11 22:03:50 作者：互联网

§ 2 数集 · 确界原理

一区间与邻域

区间

设 $a,b\in\mathbf{R}$，且 $a<b.$ 我们称数集 $\left \{x\ |\ a<x<b\right \}$ 为开区间，记作 $(\ a\ ,\ b\ )$；数集 $\left \{x\ |\ a\leqslant x\leqslant b\right \}$ 为闭区间，记作 $[\ a\ ,\ b\ ]$；数集 $\left \{x\ |\ a\leqslant x<b\right \}$ 和 $\left \{x\ |\ a< x\leqslant b\right \}$ 都称为半开半闭区间，分别记作 $[\ a\ , \ b\ )$ 和 $(\ a\ ,\ b\ ]$. 以上这几类区间统称为有限区间.
满足关系式 $x\geqslant a$ 的全体实数 $x$ 的集合记作 $[\ a\ ,\ +\infty \ )$，这里符号 $\infty $ 读作“无穷大”，$+\infty$ 读作“正无穷大” . 类似地，我们记

\[(\ -\infty\ ,\ a]=\{x\ |\ x\leqslant a\},(\ a\ ,\ +\infty\ )=\{x\ |\ x>a\} \]

\[(\ -\infty\ ,\ a)=\{x\ |\ x< a\},(\ -\infty \ ,\ +\infty\ )=\{x\ |\ -\infty < x<+\infty\}=\mathbf{R} \]

其中 $-\infty$ 读作“负无穷大”. 以上这几类数集都称为无限区间. 有限区间和无限区间统称为区间.

邻域

设 $a\in\mathbf{R},\delta>0$. 满足绝对值不等式 $|x-a|<\delta$ 的全体实数 $x$ 的集合称为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(a;\delta)$，或简单地写作 $U(a)$，即有

\[U(a;\delta)=\{x\ |\ |x-a|<\delta\}=(\ a-\delta\ ,\ a+\delta\ ). \]

点 $a$ 的空心 $\delta$ 邻域定义为

\[U^{\circ }(a;\delta)=\{x\ |\ 0<|x-a|<\delta\}, \]

几种常用邻域

点 $a$ 的 $\delta$ 右邻域 $U_+(a;\delta)=[\ a\ ,\ a+\delta\ )$，简记为 $U_+(a)$
点 $a$ 的 $\delta$ 左邻域 $U_-(a;\delta)=(\ a-\delta\ ,\ a\ ]$，简记为 $U_-(a)$
$U_-(a)$ 和 $U_+(a)$ 去除点 $a$ 后，分别为点 $a$ 的空心 $\delta$ 左、右邻域，简记为 $U^\circ _ -(a)$ 与 $U^\circ _ +(a)$
$\infty$ 邻域 $U(\infty)=\{x\ |\ |x|>M\}$，其中 $M$ 为充分大的正数（下同）
$+\infty$ 邻域 $U(+\infty)=\{x\ |\ x>M\}$
$-\infty$ 邻域 $U(-\infty)=\{x\ |\ x<-M\}$

二有界集·确界原理

定义

定义1 设 $S$ 为 $\mathbf{R}$ 中的一个数集 . 若存在数 $M(L)$，使得对一切 $x\in S$，都有 $x\leqslant M(x\geqslant L)$，则称 $S$ 为有上界（下界）的数集，数 $M(L)$ 称为 $S$ 的一个上界（下界） . 若数集 $S$ 既有上界又有下界，则称 $S$ 为有界集 . 若 $S$ 不是有界集，则称 $S$ 为无界集 .

定义2 设 $S$ 为 $\mathbf{R}$ 中的一个数集 . 若数 $\eta$ 满足：

对一切 $x\in S$，有 $x\leqslant \eta$，即 $\eta$ 是 $S$ 的上界
对任何 $\alpha<\eta$，存在 $x_0\in S$，使得 $x_0>\alpha$，即 $\eta$ 又是 $S$ 的最小上界
则称数 $\eta$ 为数集 $S$ 的上确界，记作

\[\eta=\sup S. \]

定义3 设 $S$ 是 $\mathbf{R}$ 中的一个数集 . 若数 $\xi$ 满足：

对一切 $x\in S$，有 $x\geqslant \xi$，即 $\xi$ 是 $S$ 的下界
对任何 $\beta >\xi$，存在 $x_0\in S$，使得 $x_0<\beta$，即 $\xi$ 又是 $S$ 的最大下界

则称数 $\xi$ 为数集 $S$ 的下确界，记作

\[\xi=\inf S. \]

上确界与下确界统称为确界

重要定理

※定理1（确界原理）设 $S$ 为非空数集 . 若 $S$ 有上界，则 $S$ 必有上确界；若 $S$ 有下界，则 $S$ 必有下确界 .

※证我们只证明上确界的结论，后一结论可以类似地证明 .

不妨设 $S$ 含有非负数 . 由于 $S$ 有上界，故可找到非负整数 $n$，使得

对于任何 $x\in S$，有 $x<n+1$
存在 $a_0\in S$，使 $a_0\geqslant n$.

对半开区间 $[\ n\ ,\ n+1\ )$ 作 $10$ 等分，分点为 $n.1,n.2,\cdots,n.9$，则存在 $0,1,2,\cdots,9$ 中的一个数 $n_1$，使得

对于任何 $x\in S$，有 $x<n.n_1+\dfrac 1{10}$
存在 $a_1\in S$，使 $a_1\geqslant n.n_1$.

再对半开区间 $[\ n.n_1\ ,\ n.n_1+\dfrac {1}{10}\ )$ 作 $10$ 等分，则存在 $0,1,2,\cdots ,9$ 中的一个数 $n_2$，使得

对于任何 $x\in S$，有 $x<n.n_1n_2+\dfrac 1{10^2}$
存在 $a_2\in S$，使 $a_2\geqslant n.n_1n_2$.

连续不断地 $10$ 等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何 $k=1,2, \cdots$，存在 $0,1,2,\cdots ,9$ 中的一个数 $n_k$，使得

对于任何 $x\in S$，有 $x<n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k}$
存在 $a_2\in S$，使 $a_2\geqslant n.n_1n_2\cdots n_k$.

将上述步骤无限进行下去，得到实数 $\eta=n.n_1n_2\cdots n_k\cdots$. 以下证明 $\eta=\sup S$. 为此只需证明：

对一切 $x\in S$，有 $x\leqslant \eta$
对任何 $\alpha<\eta$，存在 $a'\in S$，使 $\alpha<a'$

倘若结论 $1$ 不成立，即存在 $x\in S$，使 $x>\eta$，则可找到 $x$ 的 $k$ 位不足近似 $x_k$，使

\[x_k>\overline{\eta}_k=n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]

从而得

\[x>n.n_1n_2\cdots n_k+\dfrac 1{10^k} \]

但这与上面结论相矛盾，于是 $1$ 得证

现设 $\alpha<\eta$，则存在 $k$，使 $\eta$ 的 $k$ 位不足近似 $n_k>\overline{\alpha}_k$，即

\[n.n_1n_2\cdots n_k>\overline{\alpha}_k. \]

根据数 $\eta$ 的构造，存在 $a'\in S$，使 $a'\geqslant \eta_k$，从而有

\[a'\geqslant\eta_k>\overline{\alpha}_k\geqslant\alpha. \]

得到 $\alpha<a'$，说明 $2$ 成立

该定理是极限理论的基础

若把 $+\infty$ 和 $-\infty$ 补充到实数集中，并规定任一实数 $a$ 与 $+\infty,-\infty$ 的大小关系为：$a<+\infty\ ,a>-\infty\ ,-\infty<+\infty$，则确界概念可扩充为：若数集 $S$ 无上限，则定义 $+\infty$ 为 $S$ 的非正常上确界，记作 $\sup S=+\infty$；若 $S$ 无下限，则定义 $-\infty$ 为 $S$ 的非正常下确界，记作 $\inf S=-\infty$. 相应地根据前面定义 $2$ 和定义 $3$ 中所定义的确界分别成为正常上、下确界.

定理2（推广的确界原理）任一非空集必有上、下确界（正常的或非正常的）.

例如，对于正整数集 $\mathbf{N}_+$，有 $\inf\mathbf{N}_+=1,\sup\mathbf{N}_+=+\infty$；对于数集

\[S=\{y\ |\ y=2-x^2\ ,x\in\mathbf{R}\}, \]

有 $\inf S=-\infty,\sup S=2.$

标签：infty,确界,实数,笔记,cdots,eta,数集,delta,数学分析
来源： https://www.cnblogs.com/Tenderfoot/p/15255569.html