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复旦大学2021--2022学年第二学期（21级）高等代数II期末考试第八大题解答

八、(10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $B,C$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $BA^{-1}C$ 为对称阵. 证明: $$|A|\cdot|B+C|\leq |A+B|\cdot|A+C|,$$ 并求等号成立的充分必要条件. 证明由 $A$ 正定可知 $A^{-\frac{1}{2}}AA^{-\frac{1}{2}}=I_n$, 由 $BA^{-1}C$ 对称以及 $B,

线段树优化最长上升子序列问题

最长上升子序列给定一个长度为 $N$ 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。输入格式第一行包含整数 $N$。第二行包含 $N$ 个整数，表示完整序列。输出格式输出一个整数，表示最大长度。数据范围 $1 \leq N \leq 1000$，${−10}^{9} \leq \text{数列中的数} \leq {10

「REMAKE系列」线性dp篇

常见模型、技巧总结 LIS、LCS模型 LIS 结论题 $I$ [HAOI2006]数字序列习题洛谷——「能力综合提升题单-线性DP篇」 P2501 [HAOI2006]数字序列省选/NOI- LIS、结论现在我们有一个长度为 $n$ 的整数序列 $a$。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的

D K匹配 kmp 区间匹配计算贡献

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/213329来源：牛客网题目描述牛牛是赫赫有名的字符串高手，现在牛牛发现了一种新的匹配方式。给定一个字符串SSS和一个字符串TTT，如果SSS存在一个长度为kkk的子串Sl1,l1+k−1S_{l_1, l_1 + k - 1}Sl1,l1+k

2022.9.12考试

2022.9.12考试总结得分：$200/400$ 总结：今天的第一题和第二题比较简单，第三题代码比较长，并且数据比较难造，所以就没有拍，最后导致直接挂成$0$分，第四题在考场上没有想到比较好实现的暴力 T1 题目大意：给定$n,m,y$，$x1,x2...xn$ 求任意一组满足\(\sum num=m,Min\{\sum_{i=1}^n |\f

AtCoder Regular Contest 148 A - mod M

题面 You are given a sequence $A = (A_1, A_2, ..., A_N)$. You may perform the following operation exactly once. Choose an integer $M$ at least $2$. Then, for every integer $i$ ($1 \leq i \leq N$), replace $A_i$ with the remainder w

直方图变换

直方图和累计直方图直方图公式如下： \[h(r)=n_k \quad k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,L-1 \]其中$n_k$为图像中灰度级为$r$的像素个数。累计直方图公式如下： \[H(r)=\sum_{i=0}^{k} n_i \quad k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,L-1 \]直方图的归一化表示方式为： \[\begin{array}{l} p\left(

AtCoder Regular Contest 148 B - dp

题面 For a string $T$ of length $L$ consisting of d and p, let $f(T)$ be $T$ rotated $180$ degrees. More formally, let $f(T)$ be the string that satisfies the following conditions. $f(T)$ is a string of length $L$ consisting

B - Triangle (Easier)

Problem StatementYou are given a simple undirected graph with $N$ vertices and $M$ edges. The vertices are numbered $1, \dots, N$, and the $i$-th $(1 \leq i \leq M)$ edge connects Vertex $U_i$ and Vertex $V_i$. Find the number of tuples of integers $a

Red and Blue Graph（图论，组合计数）

题意给定一个$N$个点$M$条边的无向图。有$2^N$种方式将每个节点染成红色或者蓝色。求满足下列条件的染色方案数：恰好有$K$个点染成了红色有偶数条边的端点染成了不同颜色题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc262/tasks/abc262_e 数据范围 \(2 \leq N \leq 2 \ti

【Coel.学习笔记】【半途跑路】CDQ 分治

最近在刷状压 DP，结果发现太难不会做，跑来学点别的。反正 CSP-S2 之前刷完就行了，吧？放在数据结构里面是因为 CDQ 分治和数套树能解决的问题差不多，所以放了进去（绝不是因为懒得开一个“离线算法”的 Tag！）引入 CDQ 分治是一种通过把动态询问/点对问题等离线处理，并分治求解的算法。这种

abc265

$\textbf{F.}$ 设 $f(i, x, y)$ 表示考虑前 $i$ 维, 当前和 $P$ 的曼哈顿距离为 $x$, 和 $Q$ 的曼哈顿距离为 $y$ 的方案数. 则 $f(i, x, y) = \sum _ {s = -2000} ^ {2000} f(i - 1, x - |s - p _ i|, y - |s - q _ i|)$. 按照 $s < \min(p _ i, q _ i)$, \(s

洛谷 P4137 Rmq Problem mex 莫队 + 值域分块

Rmq Problem / mex 题目描述有一个长度为 $n$ 的数组 $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$。 $m$ 次询问，每次询问一个区间内最小没有出现过的自然数。输入格式第一行，两个正整数 $n,m$。第二行，$n$ 个非负整数 $a_1, a_2, \ldots , a_n$。接下来 $m$ 行，每行两个正整数 \(l,

arc145

$\textbf{A.}$ 当 $n = 2$ 时有解当且仅当 $S _ 1 = S _ 2$. 下设 $n \geq 3$. 设若干次操作 $S$ 得到是回文串 $T$. 则 $T _ 1 \in \{ \texttt{A} , S _ 1 \}$, $T _ n \in \{ \texttt{B}, S _ n \}$. 而 $T _ 1 = T _ n$. 故 \((S _ 1, S _ n) \neq

AtCoder做题记录

AtCoder大乱炖 AtCoder乱做 AtCoder 随便草 ARC147 ARC147C 发现这个式子当所有 $x_i$ 趋近于某一个值时答案比较优，于是可以发现这是一个近似单谷函数，用二分 + 随机化/特判过掉就行。令 $\max_{i = 1}^n L_i = M$，$\min_{i = 1}^n R_i = m$。 $M \leq m$ 显然 \(\forall

P2398 GCD SUM

P2398 GCD SUM 题目大意 $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j)$ 分析这个到是蛮好想的，我们推理一下。 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j) = \sum_{k=1}^n k*\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor} \sum_{y=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right

ARC147题解(A~E)

$A$ $Problem$ 给定长度为 $n$ 的序列 $A$，要求重复执行以下操作，直到 $A$ 中的元素个数为 $1$：选出下标 $i$，使得 $A_i$ 是 $A$ 中剩余的数中最大的；选出下标 $j$，使得 $A_j$ 是 $A$ 中剩余的数中最小的，注意 $i \neq j$；之后将 $A_i$ 从序列中删除，若 \(A_

Warp（DP）

题意有一个人站在二维平面的原点处。他将会进行$N$次传送，每次传送他可以做如下三种移动中的一种：从当前位置$(X,Y)$移动到$(X+A,Y+B)$ 从当前位置$(X,Y)$移动到$(X+C,Y+D)$ 从当前位置$(X,Y)$移动到$(X+E,Y+F)$ 有$M$个障碍物，分别位于\((X_1,Y_1),\dots, (X_M

临时

[1] Preface The problem does not require advanced knowledge and heavy implementation at all, but starting in the right direction may not be easy. [2] Solution Let us look at the maximum among $L_i$ and minimum among $R_i$ and let \(L_l=M, R_r=m\

三月来百草开盈香满袖万物苏

三月来百草开盈香满袖万物苏虫鸣和着欢笑心事舒三月来暖阳复相携去踏青处陌上花开满路香入土三月来有归人马踏浅草声催促春有期归有日今归途三月来生情愫春刚复情入骨借缕东风互诉相爱慕 $~~~~~~~~~~~~$ -------《春三月》司南 ABC 267 关于开始比赛30min后

串联数字

串联数字给定 $n$ 个正整数 $a_1,a_2, \dots ,a_n$。我们规定将正整数 $a_i$ 和 $a_j$ 串联是指将 $a_j$ 直接接在 $a_i$ 后面构成一个新整数。例如，$12$ 和 $34$ 串联得到 $1234$，$34$ 和 $12$ 串联得到 $3412$。现在，给定一个正整数 $k$，请你计算有多少个有序数对 $(i,j)(i \ne

2022.09.02

Codeforces Round #818 (Div. 2) 赛时：476+904+1176+930+0+0 补题：476+904+1176+930+600+0 A. Madoka and Strange Thoughts 求满足 $a,b\leq n$ 且 $\frac{lcm(a,b)}{gcd(a,b)}\leq 3$ 的个数。 $n\leq 10^8,t\leq 10^4$ 。赛时打表 $1$ 分钟看出规律，设差分序列 \(b_i=

9.2

ABC137F 题意：给定一个素数$p$和$a_0\sim a_{p-1}\in\{0,1\}$ 找到至多$p-1$次的多项式$f(x)=\sum_{i=0}^{p-1}b_ix^i(b_i\in[0,p-1])$ 满足$f(i)\equiv a_i\ (mod\ p)$ $2\leq p<3000$ 题解：神仙构造题，这个其实很像中国剩余定理，而且$p$是素数满足费马小定理，$a_i$

道长的算法笔记：数论基础汇总

质数判定与筛选　给定一个正整数 $N$，如果存在一个数 $T$，T 满足$(2\leq T \leq N -1)$ 则称 $N$ 是一个合数，如果不存在这样这样的因数 $T$，则称$N$ 质数。简单来说，一个数$N$ 如何仅能被 $1$ 与 $N$ 本身整除，则称这个数字是质数，或称素数(Prime Number)；数论的大多

证明：设：这个奇数位 $2n + 1$。则需要证明 $8 \mid (2n + 1) ^ 2 - 1$。因为 $(2n + 1) ^ 2 - 1 = 4n(n + 1)$ 又因为 $2 \mid n(n + 1)$ 所以 $8 \mid 4n(n + 1)$ 证毕证明：当 n 为奇数时：设：$2k + 1 = n$ \(3 ^ {2k + 1} + 1 = (3 + 1) \cdot (3 ^ {2k} - 3