f

1. 证明：
   设：这个奇数位 \(2n + 1\)。
   则需要证明 \(8 \mid (2n + 1) ^ 2 - 1\)。
   因为 \((2n + 1) ^ 2 - 1 = 4n(n + 1)\)
   又因为 \(2 \mid n(n + 1)\)
   所以 \(8 \mid 4n(n + 1)\)
   证毕

2. 证明：

• 当 n 为奇数时：
  设：\(2k + 1 = n\)
  \(3 ^ {2k + 1} + 1 = (3 + 1) \cdot (3 ^ {2k} - 3 ^ {2k - 1} \cdots + 3 ^ 0) = 4 \cdot (3 ^ {2k} - 3 ^ {2k - 1} \cdots + 3 ^ 0)\)
  由于 \(3 ^ {2k} - 3 ^ {2k - 1} \cdots + 3 ^ 0\) 不是偶数。
  所以 \(4 \mid 3 ^ {2k + 1} + 1\)，且 \(8 \nmid 3 ^ {2k + 1} + 1\)。
• 当 n 为偶数时：
  设：\(2k = n\)
  \(3 ^ {2k} + 1 = 3 \cdot (3 ^ {2k - 1} + 1) - 2\)
  由于 \(3 \cdot (3 ^ {2k - 1} + 1)\) 是 \(4\) 的倍数，但 \(2\) 不是 \(4\) 的倍数。
  所以 \(2 \mid 3 ^ {2k} + 1\)，且 \(4 \nmid 3 ^ {2k} + 1\)。
  证毕

3. 证明

由带余除法得，存在唯一的 \(q,r \in \mathbb{Z}\)，使得 \(a = qb + r\)，且 \(0 \leq r < b\)。
当 \(r\leq \vert b \vert / 2\)，时，式子可以变为 \(a = (p + 1)b + (r - b)\)。
此时 \(-\vert b \vert / 2 \leq r \leq \vert b \vert / 2\)。
证毕

4. 证明：

• \(17 \mid 2a + 3b \Rightarrow 17 \mid 9a + 5b\)
  \(\because 2a + 3b \equiv 0(\mod 1)\)
  \(\Rightarrow 26a + 39b \equiv 0(\mod 1)\)
  所以 \(9a + 5b \equiv 0(\mod 1)\)
• \(17 \mid 9a + 5b \Rightarrow 17 \mid 2a + 3b\)
  \(\because 9a + 5b \equiv 0(\mod 1)\)
  \(\Rightarrow 36a + 20b \equiv 0(\mod 1)\)
  \(2a + 3b \equiv 0(\mod 1)\)

6. • \((1492,1066) = 2\)
   • \((24871,3468) = 17\)
   • \((120,504,882) = 6\)
   • \([135,513,3114] = 887490\)

7. 设整数 \(n > 2\)，求证：在 \(n\) 到 \((n - 1)!\) 之间一定存在素数。

因为 \(n > 2\)，
所以 \(n \leq (n - 1)! < n!\)
又因为 \((n - 1)! + 1\) 是一个质数。
所以在 \(n\) 到 \((n - 1)!\) 之间一定存在素数。
证毕

标签：,vert,mid,leq,equiv,2k,mod
来源： https://www.cnblogs.com/zhouziyi/p/16647544.html