直方图变换
作者：互联网
直方图和累计直方图
直方图公式如下：
\[h(r)=n_k \quad k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,L-1 \]其中\(n_k\)为图像中灰度级为\(r\)的像素个数。累计直方图公式如下：
\[H(r)=\sum_{i=0}^{k} n_i \quad k=0,1,\cdot \cdot \cdot ,L-1 \]直方图的归一化表示方式为：
\[\begin{array}{l} p\left(r\right)=\frac{n_{k}}{MN} \quad 0 \leqslant s_{k} \leqslant 1\\ \quad \quad\quad\quad\quad\quad k=0,1, \cdots, L-1 \end{array} \]其中\(MN\)为总像素个数。
直方图均衡化
直方图均衡化主要用于增强动态范围（像素最大值和最小值之间的的范围）偏小图像的对比度（图像中明暗区域最亮的白和最暗的黑之间不同亮度层级的测量），做法就是把图像的直方图变换为均匀分布的形式。变换效果如下：
假设直方图均衡化对应的灰度变换函数为：
\[s=T(r), \quad 0 \leq r \leq L-1 \]则此变换满足下面三个条件：
- \(T(r)\) 在区间 \(0 \leq r \leq L-1\)上是一个严格单调递增函数。（严格单调是为了可以进行反变换）
- 对于 \(0 \leq r \leq L-1\) , 有 \(0 \leq T(r) \leq L-1\)。
- \(T(r)\) 可以把\(r\)的分布转化为\(s\)的均匀分布。
下面我们就来寻找此变换函数，先考虑连续的函数。
图像的灰度可视为区间 \([0, L-1]\) 内的一个随机变量。令 \(p_{r}(r)\) 和 \(p_{s}(s)\) 表示两幅不同图像中灰度值 \(r\) 和 \(s\) 的 \(PDF\)（概率密度函数 )。 \(p\) 的下标表明 \(p_{r}\) 和 \(p_{s}\) 是不同的函数。概率论的一个基本结论是，若已知 \(p_{r}(r)\) 和 \(T(r)\) , 且 \(T(r)\) 是连续的且在感兴趣的值域上是可微的, 则变换 (映射) 后的变量 \(s\) 的 \(PDF\) 是:
\[p_{s}(s)=p_{r}(r)\left|\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} s}\right| \]我们考虑如下变换公式：
\[s=T(r)=(L-1) \int_{0}^{r} p_{r}(w) \mathrm{d} w \]式中, 右侧的积分是随机变量 \(r\) 的累积分布函数 (\(CDF\))。由于 \(PDF\) 总为正, 且函数的积分是函数下方的面积, 因此可以证明上式所示的变换函数满足条件1。这是因为函数下方的面积在 \(r\) 增大时并不减小。当这个公式中的上限是 \(r=L-1\) 时, 积分结果为 1 。因此, \(s\) 的最大值为 \(L-1\) , 所以也满足条件2。
由前式可得：
\[\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} r}=\frac{\mathrm{d} T(r)}{\mathrm{d} r}=(L-1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left[\int_{0}^{r} p_{r}(w) \mathrm{d} w\right]=(L-1) p_{r}(r) \]所以：
\[p_{s}(s)=p_{r}(r)\left|\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} s}\right|=p_{r}(r)\left|\frac{1}{(L-1) p_{r}(r)}\right|=\frac{1}{L-1}, 0 \leq s \leq L-1 \]由于最终得到的\(p_{s}(s)\)是一个均匀分布得概率密度，所以\(s=T(r)=(L-1) \int_{0}^{r} p_{r}(w) \mathrm{d} w\)函数满足条件三，即它就是我们要找的直方图均衡化对应的灰度变换函数。（在离散的情况下，得到的结果往往并不是严格的均匀分布，但问题不大）
直方图均衡化实战
假设一幅大小为 \(64 \times 64\) 像素 (\(M N=4096\) ） 的 3 比特图像 \((L=8)\) 具有下表中的灰度分布, 其中灰度级是区间 \([0, L-1]=[0,7]\) 内的整数。这幅图像的直方图如下图（a）所示。
利用直方图均衡化变换函数进行变换，如：
\[s_{0}=T\left(r_{0}\right)=7 \sum_{j=0}^{0} p_{r}\left(r_{j}\right)=7 p_{r}\left(r_{0}\right)=1.33 \]并将得到的结果四舍五入取整，最终得到：
\[\begin{array}{ll} s_{0}=1.33 \rightarrow 1 & s_{4}=6.23 \rightarrow 6 \\ s_{1}=3.08 \rightarrow 3 & s_{5}=6.65 \rightarrow 7 \\ s_{2}=4.55 \rightarrow 5 & s_{6}=6.86 \rightarrow 7 \\ s_{3}=5.67 \rightarrow 6 & s_{7}=7.00 \rightarrow 7 \end{array} \]根据此灰度映射，便可以得到均衡化后的图像。
直方图规定化
直方图均衡化输出的图像具有均匀的直方图，但是有时候我们需要生成具有特定直方图的图像，这就是直方图规定化。在理解了直方图均衡化的基础上，直方图规定化就很简单，主要有三个步骤：
- 对原图像进行直方图均衡化，得到一个灰度变换函数\(s=T(r)\).
- 对于规定的直方图，我们同样也能得到一个使它均衡化的灰度变换函数\(s=G(z)\).
- 将2中得到的变换函数的反函数应用于1中的变换函数，即：\(z=G^{-1}(T(r))\),这就是我们需要的最终的变换函数。
（我们假设\(s\)为具有均匀分布的某图像的灰度）
一般来说，求解\(G^{-1}\)的解析表达式并不容易，但在离散的情况下很容易处理，我们可以遍历所有可能的取值计算出一张由输入到输出的映射表，然后存储起来，根据输出来查找输入值即可。
标签：函数,变换,均衡化,leq,直方图,quad,mathrm 来源： https://www.cnblogs.com/gxxtsz/p/16685080.html