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莫比乌斯反演
莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 定义 将 \(n\) 质因数分解 \[n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha _i} \]则 \[\mu (n)= \left\{\begin{matrix} 1, &n=1 \\ 0, & \exists \alpha _i>1\\ (-1)^k, & \forall \alpha _i=1 \end{matrix}\right.\]性质 积性函数. \(s(n) =莫比乌斯反演学习笔记
前置知识 数论分块 一些基础数论知识 积性函数 定义：如果一个数论函数 \(f(x)\)，对于任意的在其定义域中的 \(x,y\)，满足 \(f(xy)=f(x)f(y)\ \ (\gcd(x,y)=1)\)，则称 \(f(x)\) 为积性函数(Multiplicative Function)。 若 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称其为完全积性函数(Completely Multipl莫比乌斯反演自我击毙进程1-1
前情提要： 关于莫比乌斯翻译，是真的懵逼吾死，莫比乌斯函数（好理解），狄利克雷卷积（能懂不会用），莫比乌斯反演（队友泪两行），杜教筛（呵呵），因为看了两天自己不能自理的推出来，所以写个博客帮助下理解，懂了就改。。。。。。。 需要提前知道的知识： 积性函数：对于所有互质的整数都有f(ab)=f(a)f(b)的莫比乌斯反演泛做2
1.P3704-[SDOI2017]数字表格[莫比乌斯反演] Problem 有一个\(n\times m\)的表格，坐标\((i,j)\)处的数字是\(f_{gcd(i,j)}\)，其中\(f\)是斐波那契数列，要求计算\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\)，答案对\(10^9+7\)取模 Solve \[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\\ =\p[莫比乌斯反演]一些常用公式总结
一.莫比乌斯反演公式 $ $ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ 设 $F(n) = \sum\limits_{d|n}f(d)$ ，那么有 $f(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$ 其中 $\mu(d)$ 是这样一个函数： $ d = 1 $ 时 $\mu(d) = 1$ $ d = \prod\limits_{i=1}^k p_{i} ( p_{i} 为互异素数莫比乌斯反演
莫比乌斯反演 坑是开了，补不补就另说了（（（ 1.数论分块 重要结论： 对于常数 \(n\)，满足\[\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=\lfloor \frac{n}{j}\rfloor \]成立的最大的满足 \(i \le j \le n\) 的 \(j\) 的 $\left\lfloor{\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }}\right\rfloor $ 。即块 \(\l【学习笔记】莫比乌斯反演
这东西是真的神奇，但是稍微熟悉了之后就感觉没啥了 莫比乌斯函数 定义 我们通常记 \(\mu(x)\) 为莫比乌斯函数 \[\mu(x) = \left\{ \begin{aligned} &1 &&x=1 \\ &0 &&x 含有平方因子 \\ &(-1)^k &&k为本质不同的 x 的质因子的数量 \\ \end{aligned} \right. \]我们先不用考虑这东[笔记] 莫比乌斯反演
积性函数 积性函数：对于任意互质的整数 \(a,b\) 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 则称 \(f(x)\) 的数论函数。 完全积性函数：对于任意整数 \(a,b\) 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论函数。 常见的积性函数：\(\varphi,\mu,\sigma,d\) 常见的完全积性函数：\(\epsilon,I,id\) \(\epsilon(n) = [n=数论分块、杜教筛思想、莫比乌斯反演初探
1 1.对于L,R； 2 找到最大的R，使得[n/l]=[n/r]; 3 n/r>=[n/r]-->r<=n/[n/r] 4 <<=>> 5 r<=n/[n/l]; 6 7 2. 8 [[n/x]/y]=[n/xy] 9 10 3.杜教筛 11 i >= 1 && i <= n j >= 1 && j <= n 12 求它们的互质对数 13 令f(n)=它们的互质对数； 14莫比乌斯反演
狄利克雷卷积 定义:\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)\) 很显然满足交换律和结合律。 积性函数 为积性函数的有: \(I (n)\) (或\(1(n)\) ),恒等于1，所以叫恒等函数 \(\epsilon (n)\) (或者\(e(n)\) ),当且仅当 \(n=1\) 时，其值为 \(1\),否则为 \(0\),其满足(\(e*f=f\))(因此为狄利克莫比乌斯
莫比乌斯[湖北省队互测2014]一个人的数论$Ans=\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(n,i)==1]$$Ans=\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{p|i.p|n}u(p)$推不下去了,换一个想法$F(n)=\sum_{i=1}^ni^d$$G(n)=\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)==1]$$F(n)=\sum_{i|n}i^dG(\frac{n}{i})$原理就相当于,每个数字只被一个莫比乌斯反演
莫比乌斯函数 定义 \[\mu(n)= \begin {cases} 1&n=1\\ 0&\text{存在一个n的非1因子为完全平方数，即n的某个质因子幂次不小于2}\\ (-1)^k&\text{n的所有质因子幂次都为1，其中k为n的不相等质因子个数} \end {cases} \]性质 莫比乌斯函数是积性函数。 对于任意 \(n\in Z^*\) ， \(\su关于莫比乌斯反演
狄利克雷卷积与数论函数： 狄利克雷卷积写作： \[f(x)*g(x)=(f*g)(x) \]定义： \[(f*g)(x)=\sum_{d|n}^nf(d)*g(n/d) \]也可以写作： \[(f*g)(x)=\sum_{x*y=n}^nf(x)*g(y) \]狄利克雷卷积满足交换律与结合律： \[\begin{cases} (f*g)(n)=\sum_{x*y=n}^n\limits f(x)*g(y)=\sum_{x*y=n}^n\liLuogu P2158 仪仗队【莫比乌斯反演】【线性筛】
前言 蒟蒻又来水博客了！！！ 昨天听冯巨讲解了莫比乌斯反演+线性筛法，马上来写一道模板题； 首先分析题意，我们用脑子推一下就知道了答案 \[Ans(n) =\sum_{x=0}^{n-1}\sum_{y=0}^{x}[gcd(i,j)=1]\\ \]浅谈莫比乌斯函数&容斥定理(例题:数字染色,完全平方数)
今天磨了一天莫比乌斯函数,做了两个题,对莫比乌斯有了一丢丢的理解,想做做笔记,就写这篇博客了. 先介绍一下什么是积性函数.当存在gcd(a,b)=1,且满足f(a,b)=f(a)*f(b)时,f(x)为积性函数对任意a,b都有f(a,b)=f(a)*f(b),那么就称为完全积性函数.然后积性函数有一条非常重要的性质,莫比乌斯反演&整数分块
目录 前言参考资料 莫比乌斯反演预备知识：整数分块（感觉就是一个思想）总结 莫比乌斯函数 μ \mu μ（数论函数也可以视作一个数列）总结 莫比【莫比乌斯反演】学习笔记
莫比乌斯反演 目录莫比乌斯反演前言来源容斥原理推欧拉函数莫比乌斯函数的应用莫比乌斯函数性质莫比乌斯反演反演约数形式证明反演倍数形式证明相关题目 前言 本来是一个返校后发困的上午，但是我新奇的点开了牛客去补题，结果发现【您中奖了！牛客抱枕++】，顿时心血来潮，困意一冲而散。哎莫比乌斯反演学习笔记
刚接触这些东西感觉整个人都不好了 由于涉及大量公式所以将大面积粘贴各种图片，基本来自wiki 两个引理 证明就是利用向下取整把后面的\(r\)搞没了 对于任意\(d\)取便整数集合，\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)最多仅有\(2 \sqrt{n}\)种取值 证明比较直观就不解释了 这个东西主要作莫比乌斯反演
莫比乌斯反演 前置知识：数论分块 莫比乌斯函数 定义莫比乌斯函数\(\mu (x)\)，如果\(x\)的某个质因数出现超过一次，则\(\mu(x)=0\),否则\(\mu(x)=(-1)^k\),其中\(k\)是\(n\)的本质不同的质因子个数。 形式化地， \[\mu(x)= \cases{ 1~~~~~~~~~~~~~~~~~n=1\\ (-1)^k ~~~~~~~~~{n=p_1p_2\c线性筛/欧拉筛/莫比乌斯函数
int pr[N], pr_cnt, flg[N], mu[N], sum_mu[N]; void init() { mu[1] = 1; for (int i = 2; i < N; i ++) { if (!flg[i])pr[++pr_cnt] = i, mu[i] = -1; for (int j = 1; j <= pr_cnt && i*1ll * pr[j] < N; j ++) { f【数论】莫比乌斯反演
目录 莫比乌斯函数 莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 首先，我们先介绍一下莫比乌斯函数 \(\mu(x)\) 设 \(x\) 质因数分解式为：\(x = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\) \[\mu(x)= \begin{cases} 0& \exists \alpha_i \geqslant 2 \\ (-1)^k& \forall \alpha_i = 1 \end{cases}\]记 \(s(n)传说中的黑魔法---隐写术(Steganographia)的前世今生
隐写术,真的存在吗?真的存在. 隐写术是约翰尼斯·特里特米乌斯写于1499年左右写成的书籍，但是于1606年在法兰克福出版, 名列于天主教会1609年的《禁书索引》,同时也是一本所谓的"黑魔法"著作。 约翰尼斯·特里特米乌斯生于1462年2月1日卒于1516年6月13日,是德国的修道士、魔莫比乌斯反演
以下内容中，\(a|b\)表示\(a\)是\(b\)的因数，\(a\not|b\)表示\(a\)不是\(b\)的因数 前置知识：积性函数相关 整除分块 狄利克雷卷积 定义：任意函数\(f(n),g(n)\)的狄利克雷卷积为\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})\) 其中\(\sum\limits_{d|n}\)是要枚举\(n\)的因数并累加莫比乌斯反演
0.前言 老年退役选手的消遣 1.莫比乌斯函数 \(\mu\)或莫比乌斯函数是指以下函数： \[\mu(n) = \left\{ \begin{aligned} 1 \quad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad n = 1 \\ \quad \qquad (-1)^k \qquad n = p_1 p_2...p_k, p_i为互不相同的素数 \\ 0 \quad\qquad\qquad莫比乌斯反演
莫比乌斯函数定义： 设 \(n = p_1 ^ {k_1} \cdot p_2 ^ {k_2} \cdot\cdots\cdot p_m ^ {k_m}\)，其中 p 为素数，则定义如下： \[\mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ (-1) ^ m & \prod\limits_{i = 1} ^ {m} k_i = 1 \\ 0 & \textrm{otherwise}(k_i \gt 1) \end{case