莫比乌斯反演

莫比乌斯函数

定义

将 \(n\) 质因数分解

则

性质

• 积性函数.
• \(s(n) = \sum_{d|n} \mu (d) =\left\{\begin{matrix} 1, & n=1\\ 0, & n≠1 \end{matrix}\right.\)

线性筛

int primes[N], cnt, mu[N];
bool st[N];

void init()
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[ ++ cnt] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; j <= cnt && primes[j] * i < N; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
            mu[primes[j] * i] = -mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯反演

对于一些函数 \(f(n)\)，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 \(f(n)\) 的值.

定义

• 形式一：

  若 \(g(n)=\sum_{d|n}f(d)\), 则 \(f(n) = \sum _{d|n} \mu (d) g(\frac{n}{d})\).

• 形式二：

  若 \(g(n)= \sum _{n|d} f(d)\), 则 \(f(n) = \sum_{n|d} \mu (\frac{d}{n})g(d)\).

标签：matrix,乌斯,sum,mu,反演,莫比
来源： https://www.cnblogs.com/kroyosh/p/16623546.html