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浅谈莫比乌斯函数&容斥定理(例题:数字染色,完全平方数)

作者：互联网

今天磨了一天莫比乌斯函数,做了两个题,对莫比乌斯有了一丢丢的理解,想做做笔记,就写这篇博客了.

先介绍一下什么是积性函数.当存在gcd(a,b)=1,且满足f(a,b)=f(a)*f(b)时,f(x)为积性函数对任意a,b都有f(a,b)=f(a)*f(b),那么就称为完全积性函数.然后积性函数有一条非常重要的性质,它可以由线性筛法筛出来,欧拉函数和素数这些,包括莫比乌斯函数,都是积性函数.

然后就是要明白莫比乌斯是为什么:

莫比乌斯函数是个分段函数,它的意思,当n=1时,莫比乌斯函数值为1,当n为可以分解为许多素数并且这些质因子的次数都是1时,莫比乌斯值就是-1的质数因子个数的幂次方.那么除开这些情况生育的情况莫比乌斯函数值都是0;

前五十个数的莫比乌斯值.

 

先给个板子(其实就是线性筛筛素数的拓展):

void init()
{
    int tot=0,k;
    mo[1]=1;
    for(int i=2;i<=40559;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            p[++tot]=i;
            mo[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&(k=i*p[j])<=40559;j++)
        {
            vis[k]=1;
            if(i%p[j]!=0)mo[k]=-mo[i];
            else 
            {
                mo[k]=0;
                break;
            }
        }
    }
}

然后就谈谈它的两条性质:

(1)该图意为n的所有因子的莫比乌斯值的和只有在n=1时成立为1,其余通通为0;

对这个性质的证明:

首先我们可以把n分解为很多个质数相乘(此时质数的幂不一定为1):

令 n=p1^ a1* p 2^ a2 ... p k^ ak

因为这是对他们的莫比乌斯值的求和,这是求他所有约数的莫比乌斯值的和,就相当于在这么多的素数中依次选择一个两个三个......的质因子来相乘组成所有约数,但是根据莫比乌斯函数性质,包含有素数平方的约数不用计算,他对答案的贡献值为0,所有我们可以把n分解的质数的次数全部消除为1,只有当莫比乌斯值为-1或者1时才对结果有贡献.那么问题就单纯的变为在k个n的质因子中选0到k个值组成约数,再将这些约数的值相加:

注意,这里的符号并不是全为加法,而是隔一个加隔一个减,这是因为莫比乌斯函数是积性函数,当选的数是奇数个时为值为负,反之为正,又因二项式定理,将-1和1带入,可以得到结果为0.

这里的式子就很像容斥定理了,那我顺便记录一下我理解的一小部分容斥定理:

举个例子就好理解了,当我们要计算 这个图形的面积,我们可以先计算A,B,C三个图形的面积的和,计算完之后我们会发现多计算了重叠部分,那么在尝试减去每两个相交的的图形的面积,这样每两两相交的面积被减去后,我们会发现,第一次算三个大面积时计算了三次的最中间的那个面积,在第二次减去两两相交的面积是有被减去了三次,就相当于没有计算了,这里就要再次加上最中间的这个面积,也就得到了图形总面积.大概就是这样的意思,当你计算某种含有多种性质的集合的时候(每个集合中元素可能有很多种性质),就可以这样计算.(其实还不是太懂,在下面例题的时候会有运用,它和莫比乌斯函数值的分布非常像).

(2)对任意正整数n(ps:这条涉及莫比乌斯反演,还没学,学了再看)

 好了,这就是大致知识,我学完了这个还是不知道这东西到底有什么用,还是得靠实战:

 例题:完全平方数

题目列表 - 洛谷icon-default.png?t=L892https://www.luogu.com.cn/problem/list?keyword=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0&page=1题意就是筛去完全平方数及其的倍数,然后输出第k个的值.

我们要求这个,就想到把1到ki的所有完全平方数和他的倍数筛去,但是一看数据,1e9,线性筛必定t,那再去想办法进行计算,我们先把2的平方4的倍数计算出来,在1到ki中,有ki/4个4的倍数,我们再计算的16的倍数个数时候,会发现在计算4的倍数个数时候已经把16的倍数个数计算过了,这里就重复了,而假设已经计算了4和9的倍数个数,再去计算36的倍数个数就会发现计算了两次,那么就要减去36的倍数个数,这里就已经想到可以用容斥了.这里我们发现这里需要枚举质数的平方的次数,且奇数偶数符号不相同,就会想到莫比乌斯函数.它计算枚举的边界是i*i<=n;我们再用n减去计算的出来的从2开始的到ki的完全平方数的个数即为所求:

 当求出来之后,我们就可以用二分来求此时的值:

#include<iostream>
#define ll long long 
using namespace std;
int vis[40560],mo[40560],p[4253],n;
void init()
{
    int tot=0,k;
    mo[1]=1;
    for(int i=2;i<=40559;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            p[++tot]=i;
            mo[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&(k=i*p[j])<=40559;j++)
        {
            vis[k]=1;
            if(i%p[j]!=0)mo[k]=-mo[i];
            else 
            {
                mo[k]=0;
                break;
            }
        }
    }
}
bool judge(int x)
{
	ll ans=0;int i;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)
    {
        ans+=mo[i]*(x/(i*i));
    }
    if(ans>=n)return true;
    else return false;
}
int main()
{
    int t;
    ll l,r,mid;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        l=n,r=1644934082;
        while(l<r) 
        {
            // cout<<l<<" oo "<<r<<endl;
			mid=(l+r)>>1;
			if(judge(mid)) 
                r=mid;
			else l=mid+1;
		}
        printf("%lld\n",r);
    }
    return 0;
}

例题:数字染色

登录—专业IT笔试面试备考平台_牛客网icon-default.png?t=L892https://ac.nowcoder.com/acm/problem/221827题目意思:

给一个数组,在其中选数,看可以最多选出多少个gcd(最大公约数)>1的集合.

要求gcd>1,那我们就把他们的约数全部求出来,记录在一个si数组里(下标为这个约数的值,里面储存它作为约数被数组中的数用了多少次).然后我们遍历这个si数组,把每个约数可能组成的约数次数算出来,例如假设2作为约数被数组中的数被总共用了2次,那么它所有可以组成的约数就是1,2,4,也就是2^2-1种组合.而当我们选择计算了2的所有可以组成的公约数,3所有的可以组成的公约数,那么当我们计算6时,就会发现6已经被2和3计算过了,很好,容斥定理,用莫比乌斯函数作为系数求(2^n-1)的和,但是还有一个问题,当选择的是奇数个质数来计算个数时,应该加上,而莫比乌斯函数值为-1,而选偶数个时应该减去,所以在求莫比乌斯值时我们可以取个反,最终我们要求的式子就是:

上代码:

#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll a[200005],vis[200005],p[200005],mo[200005];
ll si[200005];
const ll mod=1e9+7;
void init()
{
    ll tot=0,k;
    mo[1]=1;
    for(int i=2;i<=200005;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            p[++tot]=i;
            mo[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&(k=i*p[j])<=200005;j++)
        {
            vis[k]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                mo[k]=0;
                break;
            }
            else mo[k]=-mo[i];
        }
    }
}
ll qpow(ll pp,ll x)
{
    ll ans=1;
    while(x)
    {
        if(x&1)ans=ans%mod*pp%mod;
        pp=pp*pp%mod;
        x>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,ans=0;
    init();
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        for(int j=1;j*j<=a[i];j++)
        {
            if(j*j==a[i])
                si[j]++;
            else if(a[i]%j==0)
            {
                si[j]++;
                si[a[i]/j]++;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=200005;i++)
    {   
        ans+=(mo[i]*(qpow(2,si[i])-1)%mod)%mod;       
    }
    printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
    return 0;
}

 ps:最后结果防止取模出负数要加上mod再取模.

之后会继续学习莫比乌斯反演的,如果本蒟蒻有什么错误望大佬指正.

标签：约数,浅谈,int,乌斯,容斥,计算,莫比,例题,函数
来源： https://blog.csdn.net/qq_49593247/article/details/120394226