莫比乌斯反演学习笔记

前置知识

• 数论分块
• 一些基础数论知识

积性函数

定义：如果一个数论函数 \(f(x)\)，对于任意的在其定义域中的 \(x,y\)，满足 \(f(xy)=f(x)f(y)\ \ (\gcd(x,y)=1)\)，则称 \(f(x)\) 为积性函数(Multiplicative Function)。

若 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称其为完全积性函数(Completely Multiplicative Function)。

下文，我们用 \(f(x) \operatorname{is mf}\) 来表示 \(f(x)\) 为积性函数，用 \(f(x) \operatorname{is cmf}\) 来表示 \(f(x)\) 为完全积性函数（当然，完全积性函数一定是积性函数）。

几个积性函数例子：（\([x]\) 表示当 \(x\) 满足，返回 \(1\)，否则是 \(0\)）

• 单位函数 \(\epsilon(x)=[x=1]\)
• 常数函数 \(c(x)=C\) （\(C\) 是常数,一般是 \(1\)，这时称函数为 \(1(x)\)）
• 幂函数 \(\operatorname{id}^{k}(x)=x^{k}\)
• 线性函数（我自己取的名字）\(\operatorname{id}(x)=\operatorname{id}^{1}(x)=x\)
• 除数函数 \(\sigma_{k}(x)=\sum\limits_{d|x}{d^{k}}\)
• 因子个数函数 \(\tau(x)=\sigma_{0}(x)=\sum\limits_{d|x}{1}\)
• 因子和函数 \(\sigma(x)=\sigma_{1}(x)=\sum\limits_{d|x}{d}\)
• 欧拉函数 \(\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^{x}{[\gcd(i,x)=1]}\)
• 莫比乌斯函数（非常重要）:

\[\mu(x)=\left\{ \begin{aligned} & x \text{ when }x = 0 \\ & 0 \text{ when } \exists d(1 \le d \le x,d \in \mathbb{Z}^{+}),\text{ s.t. } d^{2}\mid x \\ & (-1)^{k} \text{ otherwise },k=\sum_{p\in \operatorname{primes}}^{x}{[p\mid x]} \end{aligned} \right. \]

若 \(f(x),g(x)\) 为积性函数，那么下面的几个函数 \(F(x)\) 也是积性函数。

\[\begin{aligned} & F(x) = f(x^p)\\ & F(x) = f^p(x)\\ & F(x) = f(x)g(x) \end{aligned} \]

狄利克雷卷积

两个数论函数 \(f(x),g(x)\) 的狄利克雷卷积（Dirichlet Product）\(f(x)\ast g(x)=F(x)\),指的是：

\[F(x)=(f\ast g) (n) = \sum_{d\mid n} f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\right) \]

性质：

• 若 \(f(x),g(x) \operatorname{is mf}\)，那么 \(f(x)\ast g(x)=F(x) \operatorname{is mf}\)（同积性律）
• \(f(x)\ast g(x)=g(x)\ast f(x)\)（交换律）
• \(f(x)\ast g(x)\ast h(x)=f(x)\ast(g(x)\ast h(x))\)（结合律）
• \(f(x)\ast(g(x)+h(x))=f(x)\ast g(x) + f(x)\ast h(x)\)（与加法的分配律）
• \(f(x)\ast \epsilon(x)=f(x)\)（\(\epsilon\) 函数是狄利克雷卷积单位元）
• \(\varphi(x)=\operatorname{id}(x)\ast 1(x)\)
• \(\varphi(x)\ast 1 = \operatorname{id}(x)\)
• \(\operatorname{id}_{k}(x)\ast 1(x)=\sigma_{k}(x)\)

标签：函数,ast,积性,乌斯,sum,id,反演,莫比,operatorname
来源： https://www.cnblogs.com/zheyuanxie/p/mobius.html