正项级数收敛性判别方法

比值判别法 设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​为正项级数，且 l i m n − > ∞ a n + 1 a n = q lim_{n->\infty} {a_{n+1}\over a_n}=q limn−>∞​an​an+1​​=q,则有

• 当 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​收敛
• 当 q > 1 q>1 q>1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​发散

（比较判别法的极限形式）设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​和 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞​bn​均为正项级数，且 l i m n − > ∞ a n b n = l lim_{n->\infty} {a_n \over b_n}=l limn−>∞​bn​an​​=l

• 当 0 < l < ∞ 0<l<\infty 0<l<∞时，级数 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​和 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞​bn​有相同的敛散性；
• 当 l = 0 l=0 l=0时，如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞​bn​收敛,那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​收敛
• 当 l = ∞ l=\infty l=∞时，如果级数 Σ n = 1 ∞ b n \Sigma _{n=1} ^{\infty} b_n Σn=1∞​bn​发散，那么 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​发散

(根值判别法）设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​为正项级数，且 l i m n − > ∞ a n = q lim_{n->\infty} \sqrt {a_n}=q limn−>∞​an​ ​=q,则有

• 当 0 < = q < 1 0<=q<1 0<=q<1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​收敛
• 当 q > 1 q>1 q>1时，级数设 Σ n = 1 ∞ a n \Sigma _{n=1} ^{\infty} a_n Σn=1∞​an​发散

标签：infty,判别,级数,bn,收敛性,发散,Sigma
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