BZOJ-2299 [HAOI2011]向量(裴蜀定理)
作者：互联网
题目描述
给一对数 \(a,b\)，可以任意使用 \((a,b),(a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a),(b,-a),(-b,a),(-b,-a)\) 这些向量，问能不能拼出另一个向量 \((x,y)\)。
数据范围：\(T\leq 50000,-2\times 10^9\leq a,b,x,y\leq 2\times 10^9\)。
分析
\((a,b)\) 和 \((-a,-b)\) 这种方向相反的向量是等价的，因此有用的向量只有四个：\((a,b),(a,-b),(b,a)(b,-a)\)。
问题转化成求整数 \(A,B,C,D\)，使得 \(A(a,b)+B(a,-b)+C(b,a)+D(b,-a)=(x,y)\) 有解。
化简一下：
\[\begin{cases}(A+B)a+(C+D)b=x\\ (C-D)a+(A-B)b=y \end{cases} \]根据裴蜀定理，方程 \(ax+by=c\) 有整数解，当且仅当 \(\gcd (a,b)\mid c\) 成立。
回到原问题，当 \(\gcd(a,b)\mid x\) 且 \(\gcd(a,b)\mid y\) 时，\(A+B,C+D,A-B,C-D\) 一定有整数解。但是这不能保证 \(A,B,C,D\) 有整数解，比如 \(A+B,A-B\) 的奇偶性不同时，\(A,B\) 都是带 \(0.5\) 的小数。所以还需要要求 $A+B,A-B $ 奇偶性相同，\(C+D,C-D\) 奇偶性相同。
分四种情况讨论：
\(1.A+B,A-B,C+D,C-D\) 都是偶数：
\[\begin{cases}\frac{(A+B)}{2}·2a+\frac{(C+D)}{2}·2b=x\\ \frac{(C-D)}{2}·2a+\frac{(A-B)}{2}·2b=y \end{cases} \]即 \(\gcd(2a,2b)\mid x\) 且 \(\gcd(2a,2b)\mid y\)。
\(2.A+B,A-B,C+D,C-D\) 都是奇数：
\[\begin{cases}\frac{(A+B)+1}{2}·2a+\frac{(C+D)+1}{2}·2b=x+a+b\\ \frac{(C-D)+1}{2}·2a+\frac{(A-B)+1}{2}·2b=y+a+b \end{cases} \]即 \(\gcd(2a,2b)\mid x+a+b\) 且 \(\gcd(2a,2b)\mid y+a+b\)。
\(3.A+B,A-B\) 是偶数，\(C+D,C-D\) 是奇数：
\[\begin{cases}\frac{(A+B)}{2}·2a+\frac{(C+D)+1}{2}·2b=x+b\\ \frac{(C-D)+1}{2}·2a+\frac{(A-B)}{2}·2b=y+a \end{cases} \]即 \(\gcd(2a,2b)\mid x+b\) 且 $\gcd(2a,2b)\mid y+a $。
\(4.A+B,A-B\) 是奇数，\(C+D,C-D\) 是偶数：
\[\begin{cases}\frac{(A+B)+1}{2}·2a+\frac{(C+D)}{2}·2b=x+a\\ \frac{(C-D)}{2}·2a+\frac{(A-B)+1}{2}·2b=y+b \end{cases} \]即 \(\gcd(2a,2b)\mid x+a\) 且 \(\gcd(2a,2b)\mid y+b\)。
上述四种情况有任意一个为真，则能拼出向量 \((x,y)\)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
long long a,b,x,y;
scanf("%lld %lld %lld %lld",&a,&b,&x,&y);
long long gcd=__gcd(2*a,2*b);
if((x%gcd==0&&y%gcd==0)||((x+a+b)%gcd==0&&(y+a+b)%gcd==0)||((x+b)%gcd==0&&(y+a)%gcd==0)||((x+a)%gcd==0&&(y+b)%gcd==0))
puts("Y");
else
puts("N");
}
return 0;
}
标签：2299,frac,gcd,mid,2a,2b,cases,裴蜀,HAOI2011 来源： https://www.cnblogs.com/DestinHistoire/p/14052267.html