[高中数学]常用逻辑用语、推理与证明

用书：人教版高中数学选修2-1，2-2

• 常用逻辑用语
  • 命题（用语言、符号或式子表示的可以判断真假的陈述句。
  • 判断为真即真命题，判断为假即假命题。
  • 把命题写成“若$p$，则$q$”形式时，$p$即条件，$q$即结论。
  • 互逆命题：把命题的条件和结论交换，可以得到原命题的逆命题。
  • 互否命题：一个命题的条件和结论是另一个命题条件的否定和结论的否定。
  • 逆否命题：一个命题的条件和结论是另一个命题的结论的否定和条件的否定。
  • 互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性。
  • 否命题：若$ \lnot p$，则$ \lnot q$；逆命题：若$q$，则$p$；逆否命题：$ \lnot q$，则$ \lnot p$。
  • 充分条件与必要条件
    • 若$p \Rightarrow q$，则称$p$是$q$的充分条件，$q$是$p$的必要条件。
    • 充要条件：若$p \Leftrightarrow q$，则$p$和$q$互为充分必要条件。
  • 简单逻辑联结词
    • 且：$p \land q$
    • 或：$p \lor q$
    • 非：$\lnot p$
    • 命题的否定：若$p$，则$q$的否定是$p \land q$。
  • 全称量词($\forall $)和存在量词($\exists $)
    • 含有一个量词的命题的否定：
    1. 全称命题$p$：$\forall x \in M,p(x)$，其否定$\lnot p$为：$\exists x_{0} \in M,\lnot p(x_{0})$。全称命题的否定为特称命题。（举反例）
    2. 特称命题$p$：$\exists x_{0} \in M,p(x_{0})$，其否定$\lnot p$为：$\forall x \in M,\lnot p(x)$。特称命题的否定是全称命题。
• 推理与证明
• 合情推理
• 归纳推理/归纳：由于某些事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。（部分到整体，个别到一般。）
• 类比推理/类比：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。（特殊到特殊。）
• 演绎推理/逻辑推理
  • 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。（从一般到特殊。）
    • 三段论：大前提（一般结论）+小前提（特殊情况）+结论（一般结论在特殊情况下的表现。）
    • 大前提：$M$是$P$；小前提：$S$是$M$；结论：$S$是$P$。
    • 集合论理解：集合$M$所有元素都有性质$P$，$S$是$P$的一个子集，$S$中所有元素自然都具有性质$P$。
• 直接证明
  • 综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，同通过推理推导出所需要的结论。
  • $(P\Rightarrow Q_{1})\rightarrow (Q_{1}\Rightarrow Q_{2})\rightarrow \dots (Q_{n}\Rightarrow Q)$
  • 分析法：从结论$Q$出发，反推回去，寻求使得$Q$成立的充分条件$P_{1}$，在寻找使得$P_{1}$成立的充分条件$P_{2}$……直到找到一个显然成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止。
  • $(Q\Leftarrow  P_{1})\rightarrow (P_{1}\Rightarrow P_{2})\Leftarrow \dots (P_{2}\Rightarrow P_{2})\rightarrow \dots \rightarrow (一个显然成立的条件)$
  • 实际中常常结合这两种方法。
  • $(P\Rightarrow Q_{1})\rightarrow (Q_{1}\Rightarrow Q_{2})\rightarrow \dots \rightarrow (P_{n}\Rightarrow {P}'\Rightarrow {Q}'\Rightarrow Q_{m})\leftarrow \dots \leftarrow (Q_{2}\Rightarrow Q_{1})\leftarrow (Q_{1}\Rightarrow Q)$
• 间接证明
  • 反证法：假设原命题不成立（即在原命题条件下，结论不成立）经过正确推理得出矛盾（与已知条件/假设/定理/公理/定义/事实矛盾。），从而说明假设错误，进而证明了原命题成立。
• 数学归纳法
  • 一般地，证明一个与正整数$n$有关的命题，可按下列步骤进行：
  1. （归纳奠基）证明当$n$取第一个值$n_{0},(n_{0} \in N^{+})$时命题成立。
  2. （归纳递推）假设$n=k(k \geqslant n_{0},k \in N^{+})$时命题成立，证明当$n=k+1$时命题也成立。
  3. 完成上述步骤即可证明命题对从$n_{0}$开始的正整数$n$均成立。

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