【BZOJ4821】[SDOI2017] 相关分析（线段树）
作者：互联网
大致题意： 给定\(x,y\)两个数组，每次给定\(L,R\)，要求支持三种操作：设\(\overline{x}\)为\(x_{L\sim R}\)的平均数，\(\overline{y}\)为\(y_{L\sim R}\)的平均数，求\(\frac{\sum_{i=L}^R(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum_{i=L}^R(x_i-\overline{x})^2}\)；把区间内所有\(x_i\)加上\(S\)，所有\(y_i\)加上\(T\)；把区间内所有\(x_i\)修改为\(S+i\)，所有\(y_i\)修改为\(T+i\)。
前言
写了一天的计算几何（其实也就\(3\)题。。。），身心俱疲。。。
于是找道比较水的线段树题来水一水。。。
维护
这种东西看看都很难维护，显然要先拆式子：
\[\sum_{i=L}^R(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \]
\[\sum_{i=L}^Rx_iy_i-\overline{x}\sum_{i=L}^Ry_i-\overline{y}\sum_{i=L}^Rx_i+(R-L+1)\overline{x}\overline{y} \]
而\(\overline{x}=\frac{\sum_{i=L}^Rx_i}{R-L+1},\overline{y}=\frac{\sum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1}\)，代入得到：
\[\sum_{i=L}^Rx_iy_i-\frac{\sum_{i=L}^Rx_i\sum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1}-\frac{\sum_{i=L}^Rx_i\sum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1}+\frac{\sum_{i=L}^Rx_i\sum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1} \]
也就是：
\[\sum_{i=L}^Rx_iy_i-\frac{\sum_{i=L}^Rx_i\sum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1} \]
同理，\(\sum_{i=L}^R(x_i-\overline{x})^2\)就等于：（只要把上面式子的\(y\)都换成\(x\)就好了）
\[\sum_{i=L}^Rx_i^2-\frac{(\sum_{i=L}^Rx_i)^2}{R-L+1} \]
然后我们看一看这两个式子，就会发现我们只需要维护\(x_i,y_i,x_i^2,x_iy_i\)各自的和就可以了。
区间加法
第一种修改很简单啊。显然有：（\(l\)为区间长度）
\[\sum(x+S)^2=\sum x^2+2S\sum x+l\cdot S^2 \]
\[\sum(x+T)(y+T)=\sum xy+T\cdot\sum x+S\cdot\sum y+l\cdot S\cdot T \]
因此，\(\sum x^2\)加上\(2S\cdot\sum x_i+l\cdot S^2\)，\(\sum xy\)加上\(T\cdot\sum x+S\cdot\sum y+l\cdot S\cdot T\)。
至于\(\sum x,\sum y\)，只要分别加上\(l\cdot S\)和\(l\cdot T\)就行了（注意要放后面加）。
区间赋值
第二种修改实际上也很简单，方便起见，我们令\(S,T\)表示当前区间修改为\(S+1,S+2,...,S+l\)和\(T+1,T+2,...,T+l\)（只要在处理右区间时分别给操作中给出的\(S,T\)加上左区间的大小即可）。
则可以得到：
\[\sum x=\sum_{i=1}^l(S+i)=l\cdot S+\frac{l(l+1)}2 \]
\[\sum y=\sum_{i=1}^l(T+i)=l\cdot T+\frac{l(l+1)}2 \]
\[\sum x^2=\sum_{i=1}^l(S+i)^2=l\cdot S^2+S\cdot l(l+1)+\frac{l(l+1)(2l+1)}6 \]
\[\sum xy=\sum_{i=1}^l(S+i)(T+i)=l\cdot S\cdot T+(S+T)\cdot \frac{l(l+1)}2+\frac{l(l+1)(2l+1)}6 \]
于是这道题就做完了，具体实现可以详见代码。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define DB double
#define CD Con DB&
using namespace std;
int n,x[N+5],y[N+5];
class SegmentTree//线段树
{
private:
#define PT CI l=1,CI r=n,CI rt=1
#define LT l,mid,rt<<1
#define RT mid+1,r,rt<<1|1
#define PU(x) (O[x]=O[x<<1]+O[x<<1|1])
#define PD(x)\
(\
O[x].Uf&&(O[x<<1].Upt(O[x].Ux,O[x].Uy),\
O[x<<1|1].Upt(O[x].Ux+mid-l+1,O[x].Uy+mid-l+1),O[x].Uf=0),\
(O[x].Ax||O[x].Ay)&&(O[x<<1].Add(O[x].Ax,O[x].Ay),\
O[x<<1|1].Add(O[x].Ax,O[x].Ay),O[x].Ax=O[x].Ay=0)\
)//下传标记，注意赋值标记传到右区间要加上左区间大小
struct node
{
#define CN Con node&
int l,Uf,Ux,Uy;DB sx,sy,xx,xy,Ax,Ay;
I friend node operator + (CN x,CN y)//合并两个区间信息
{
node t;t.l=x.l+y.l,t.sx=x.sx+y.sx,t.sy=x.sy+y.sy,t.xx=x.xx+y.xx,
t.xy=x.xy+y.xy,t.Uf=t.Ax=t.Ay=0;return t;
}
I void Add(CD s,CD t)//区间加法
{
Ax+=s,Ay+=t,xx+=2*s*sx+l*s*s,xy+=t*sx+s*sy+l*s*t,sx+=l*s,sy+=l*t;
}
I void Upt(CI s,CI t)//区间赋值
{
Ax=Ay=0,Uf=1,Ux=s,Uy=t,sx=1.0*l*s+1.0*l*(l+1)/2,sy=1.0*l*t+1.0*l*(l+1)/2,
xx=1.0*l*s*s+1.0*s*l*(l+1)+1.0*l*(l+1)*(2*l+1)/6,
xy=1.0*l*s*t+1.0*(s+t)*l*(l+1)/2+1.0*l*(l+1)*(2*l+1)/6;
}
}O[N<<2];
public:
I void Build(PT)//建树
{
if(l==r)
{
O[rt].l=1,O[rt].sx=x[l],O[rt].sy=y[l],O[rt].xx=1.0*x[l]*x[l],
O[rt].xy=1.0*x[l]*y[l];return;
}
int mid=l+r>>1;Build(LT),Build(RT),PU(rt);
}
I void U1(CI x,CI y,CI s,CI t,PT)//第一种修改
{
if(x<=l&&r<=y) return O[rt].Add(s,t);int mid=l+r>>1;PD(rt);
x<=mid&&(U1(x,y,s,t,LT),0),y>mid&&(U1(x,y,s,t,RT),0),PU(rt);
}
I void U2(CI x,CI y,CI s,CI t,PT)//第二种修改
{
if(x<=l&&r<=y) return O[rt].Upt(s,t);int mid=l+r>>1;PD(rt);
x<=mid&&(U2(x,y,s,t,LT),0),y>mid&&(U2(x,y,s+mid-l+1,t+mid-l+1,RT),0),PU(rt);
}
I node Qry(CI x,CI y,PT)//询问
{
if(x==l&&r==y) return O[rt];int mid=l+r>>1;PD(rt);
if(y<=mid) return Qry(x,y,LT);if(x>mid) return Qry(x,y,RT);
return Qry(x,mid,LT)+Qry(mid+1,y,RT);
}
I double Q(CI x,CI y)
{
node t=Qry(x,y);double f=t.xy-t.sx*t.sy/(y-x+1);
double g=t.xx-t.sx*t.sx/(y-x+1);return f/g;//计算答案
}
}S;
int main()
{
RI Qt,i;scanf("%d%d",&n,&Qt);
for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",x+i);for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",y+i);S.Build();
RI op,l,r,s,t;W(Qt--) switch(scanf("%d%d%d",&op,&l,&r),op)
{
case 1:printf("%.10lf\n",S.Q(l,r));break;
case 2:scanf("%d%d",&s,&t),S.U1(l,r,s,t);break;
case 3:scanf("%d%d",&s,&t),S.U2(l,r,s,t);break;
}return 0;
}
标签：CI,frac,cdot,线段,overline,SDOI2017,BZOJ4821,sum,define 来源： https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/BZOJ4821.html