位运算与代数结构

在java中，位运算主要有非$\sim$∼，与$\&$&，或$|$∣，亦或$\wedge$∧，左移$<<$<<，右移$>>$>>，算数右移$>>>$>>>，这么多种。我们只考虑三十二位整数，也就是java中的int类型。将其符合的运算律以及代数结构整理如下：
设$Z$Z是三十二位整数全体。则$\forall x \in Z$∀x∈Z，有：

1、$x+\sim x=-1$x+∼x=−1
证明可以由计算机中负数表示方法得到。因为$-x=\sim x+1$−x=∼x+1，所以上式成立。

2、设$x\in\{0,1\}$x∈{0,1}，则$x\&0=0, x|1=1, x\&1=x, x|0=x$x&0=0,x∣1=1,x&1=x,x∣0=x并且若$x,y,z\in\{0,1\}$x,y,z∈{0,1}，则$x\&y=y\& x, x|y=y|x, \\(x\&y)\&z=x\&(y\&z), (x|y)|z=x|(y|z)$x&y=y&x,x∣y=y∣x,(x&y)&z=x&(y&z),(x∣y)∣z=x∣(y∣z)所以$\&$&和$|$∣满足交换律和结合律。用群论的语言就是，$(\{0,1\},\&)$({0,1},&)与$(\{0,1\},|)$({0,1},∣)是一个交换幺半群（commutative monoid）。即：
$(\{0,1\},\&)$({0,1},&)是一个交换幺半群，单位元是$1$1，$0$0不可逆；
$(\{0,1\},|)$({0,1},∣)是一个交换幺半群，单位元是$0$0，$1$1不可逆。

3、若$x,y,z\in\{0,1\}$x,y,z∈{0,1}，考虑分配律，我们有：$x\&(y|z)=(x\&y)|(x\&z)\\x|(y\&z)=(x|y)\&(x|z)$x&(y∣z)=(x&y)∣(x&z)x∣(y&z)=(x∣y)&(x∣z)证明非常简单，只需要对$x$x进行考虑，再结合前面的性质就可以了。所以由上面可知，它们还互相满足分配律。

4、德摩根律：$\sim (x\& y)=(\sim x)| (\sim y)\\\sim (x| y)=(\sim x)\& (\sim y)$∼(x&y)=(∼x)∣(∼y)∼(x∣y)=(∼x)&(∼y)

由于位运算是把两个int的每个数的每一位单独拿出来分别对应的做运算，所以上面的性质对任意int的$x$x和$y$y都是成立的，但是要按照计算机里的二进制表示稍微改动一下：$\forall x\in Z, x\&0=0, x|(-1)=-1, x\&(-1)=x, x|0=x$∀x∈Z,x&0=0,x∣(−1)=−1,x&(−1)=x,x∣0=x交换律结合律分配律仍然保持正确。

4、以上看出来，$\&$&和$|$∣的性质还不够好，不过$\wedge$∧的性质就相当好了。我们有这样的结论：$(\{0,1\},\wedge)$({0,1},∧)是个阿贝尔群。
证明：封闭性显然，交换律显然，$0$0是单位元，且两个元素的阶都是$2$2，也就是逆元都是自己。结合律证明如下：由于$x\wedge y=(x\&\sim y)|(\sim x\&y)$x∧y=(x&∼y)∣(∼x&y)，所以：$(x\wedge y)\wedge z=((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\wedge z\\=(((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\&\sim z) |\\ (\sim((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\& z)\\=(x\&\sim y\&\sim z)|(\sim x\& y\&\sim z)|\\(x\& y\& z)|(\sim x \&\sim y \& z)\\=(x\&((\sim y \& \sim z)|(y\& z)))|\\(\sim x\&((y \& \sim z)|(\sim y\& z)))\\=(x\&\sim (y\wedge z))|(\sim x\& (y\wedge z))\\=x\wedge (y\wedge z)$(x∧y)∧z=((x&∼y)∣(∼x&y))∧z=(((x&∼y)∣(∼x&y))&∼z)∣(∼((x&∼y)∣(∼x&y))&z)=(x&∼y&∼z)∣(∼x&y&∼z)∣(x&y&z)∣(∼x&∼y&z)=(x&((∼y&∼z)∣(y&z)))∣(∼x&((y&∼z)∣(∼y&z)))=(x&∼(y∧z))∣(∼x&(y∧z))=x∧(y∧z)所以结合律成立。所以$(\{0,1\},\wedge)$({0,1},∧)是个阿贝尔群。

5、关于左移和右移，有两个很显然的结论：$x>>1=x/2$x>>1=x/2，以及$x<<1=2x$x<<1=2x。这里要注意$x$x的范围，操作没有溢出的话等式是对的，否则需要仔细考虑。

6、接下来是两个常用的位运算操作：
求$x$x的从右向左数第$i$i位是什么（$i$i从$0$0开始计数）：$(x>>i)\&1$(x>>i)&1；
求$x$x的从右向左数第$1$1个$1$1出现的位置代表的数是几：$lowbit(x)=x\&-x$lowbit(x)=x&−x。这个结论可以由$-x=\sim x+1$−x=∼x+1得到。

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标签：wedge,代数,运算,xxx,111,结合律,sim,结构
来源： https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/104082406