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位运算与代数结构

作者:互联网

在java中,位运算主要有非\sim∼,与&\&&,或|∣,亦或\wedge∧,左移<<<<<<,右移>>>>>>,算数右移>>>>>>>>>,这么多种。我们只考虑三十二位整数,也就是java中的int类型。将其符合的运算律以及代数结构整理如下:
ZZZ是三十二位整数全体。则xZ\forall x \in Z∀x∈Z,有:

1、x+x=1x+\sim x=-1x+∼x=−1
证明可以由计算机中负数表示方法得到。因为x=x+1-x=\sim x+1−x=∼x+1,所以上式成立。

2、设x{0,1}x\in\{0,1\}x∈{0,1},则x&0=0,x1=1,x&1=x,x0=xx\&0=0, x|1=1, x\&1=x, x|0=xx&0=0,x∣1=1,x&1=x,x∣0=x并且若x,y,z{0,1}x,y,z\in\{0,1\}x,y,z∈{0,1},则x&y=y&x,xy=yx,(x&y)&z=x&(y&z),(xy)z=x(yz)x\&y=y\& x, x|y=y|x, \\(x\&y)\&z=x\&(y\&z), (x|y)|z=x|(y|z)x&y=y&x,x∣y=y∣x,(x&y)&z=x&(y&z),(x∣y)∣z=x∣(y∣z)所以&\&&和|∣满足交换律和结合律。用群论的语言就是,({0,1},&)(\{0,1\},\&)({0,1},&)与({0,1},)(\{0,1\},|)({0,1},∣)是一个交换幺半群(commutative monoid)。即:
({0,1},&)(\{0,1\},\&)({0,1},&)是一个交换幺半群,单位元是111,000不可逆;
({0,1},)(\{0,1\},|)({0,1},∣)是一个交换幺半群,单位元是000,111不可逆。

3、若x,y,z{0,1}x,y,z\in\{0,1\}x,y,z∈{0,1},考虑分配律,我们有:x&(yz)=(x&y)(x&z)x(y&z)=(xy)&(xz)x\&(y|z)=(x\&y)|(x\&z)\\x|(y\&z)=(x|y)\&(x|z)x&(y∣z)=(x&y)∣(x&z)x∣(y&z)=(x∣y)&(x∣z)证明非常简单,只需要对xxx进行考虑,再结合前面的性质就可以了。所以由上面可知,它们还互相满足分配律。

4、德摩根律:(x&y)=(x)(y)(xy)=(x)&(y)\sim (x\& y)=(\sim x)| (\sim y)\\\sim (x| y)=(\sim x)\& (\sim y)∼(x&y)=(∼x)∣(∼y)∼(x∣y)=(∼x)&(∼y)

由于位运算是把两个int的每个数的每一位单独拿出来分别对应的做运算,所以上面的性质对任意int的xxx和yyy都是成立的,但是要按照计算机里的二进制表示稍微改动一下:xZ,x&0=0,x(1)=1,x&(1)=x,x0=x\forall x\in Z, x\&0=0, x|(-1)=-1, x\&(-1)=x, x|0=x∀x∈Z,x&0=0,x∣(−1)=−1,x&(−1)=x,x∣0=x交换律结合律分配律仍然保持正确。

4、以上看出来,&\&&和|∣的性质还不够好,不过\wedge∧的性质就相当好了。我们有这样的结论:({0,1},)(\{0,1\},\wedge)({0,1},∧)是个阿贝尔群。
证明:封闭性显然,交换律显然,000是单位元,且两个元素的阶都是222,也就是逆元都是自己。结合律证明如下:由于xy=(x&y)(x&y)x\wedge y=(x\&\sim y)|(\sim x\&y)x∧y=(x&∼y)∣(∼x&y),所以:(xy)z=((x&y)(x&y))z=(((x&y)(x&y))&z)(((x&y)(x&y))&z)=(x&y&z)(x&y&z)(x&y&z)(x&y&z)=(x&((y&z)(y&z)))(x&((y&z)(y&z)))=(x&(yz))(x&(yz))=x(yz)(x\wedge y)\wedge z=((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\wedge z\\=(((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\&\sim z) |\\ (\sim((x\&\sim y)|(\sim x\&y))\& z)\\=(x\&\sim y\&\sim z)|(\sim x\& y\&\sim z)|\\(x\& y\& z)|(\sim x \&\sim y \& z)\\=(x\&((\sim y \& \sim z)|(y\& z)))|\\(\sim x\&((y \& \sim z)|(\sim y\& z)))\\=(x\&\sim (y\wedge z))|(\sim x\& (y\wedge z))\\=x\wedge (y\wedge z)(x∧y)∧z=((x&∼y)∣(∼x&y))∧z=(((x&∼y)∣(∼x&y))&∼z)∣(∼((x&∼y)∣(∼x&y))&z)=(x&∼y&∼z)∣(∼x&y&∼z)∣(x&y&z)∣(∼x&∼y&z)=(x&((∼y&∼z)∣(y&z)))∣(∼x&((y&∼z)∣(∼y&z)))=(x&∼(y∧z))∣(∼x&(y∧z))=x∧(y∧z)所以结合律成立。所以({0,1},)(\{0,1\},\wedge)({0,1},∧)是个阿贝尔群。

5、关于左移和右移,有两个很显然的结论:x>>1=x/2x>>1=x/2x>>1=x/2,以及x<<1=2xx<<1=2xx<<1=2x。这里要注意xxx的范围,操作没有溢出的话等式是对的,否则需要仔细考虑。

6、接下来是两个常用的位运算操作:
xxx的从右向左数第iii位是什么(iii从000开始计数):(x>>i)&1(x>>i)\&1(x>>i)&1;
xxx的从右向左数第111个111出现的位置代表的数是几:lowbit(x)=x&xlowbit(x)=x\&-xlowbit(x)=x&−x。这个结论可以由x=x+1-x=\sim x+1−x=∼x+1得到。

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标签:wedge,代数,运算,xxx,111,结合律,sim,结构
来源: https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/104082406