DTOJ #5700. 可怜的木偶 题解
作者：互联网
根据裴蜀显然每次最少移动 \(d=\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)，注意到 \(1\le d \le k\)，初始坐标为 \(k!\)，则最后可以移动到 \(d\)。
问题改为：
\[\frac{1}{k^n}\sum_{a_1=1}^k\sum_{a_2=1}^k\cdots\sum_{a_n=1}^k\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n) \]\[=\frac{1}{k^n}\sum_{d=1}^kd\sum_{a_1=1}^{\lfloor\frac{k}{d}\rfloor}\sum_{a_2=1}^{\lfloor\frac{k}{d}\rfloor}\cdots\sum_{a_n=1}^{\lfloor\frac{k}{d}\rfloor}[\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1] \]右边的艾弗森：
\[[\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1] \]\[=\sum_{x|\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)}\mu(x) \]\[=\sum_{x|a_1,x|a_2,\cdots,x|a_n}\mu(x) \]套路地枚举 \(x\)：
\[\frac{1}{k^n}\sum_{d=1}^kd\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{k}{d}\rfloor}\mu(x)\left(\lfloor\frac{k}{dx}\rfloor\right)^n \]套路地枚举 \(T=dx, x=\frac{T}{d}\)：
\[\frac{1}{k^n}\sum_{T=1}^k\left(\frac{k}{T}\right)^n\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d}) \]右边是 \(\operatorname{id}*\mu=\varphi\)：
\[\frac{1}{k^n}\sum_{T=1}^k\left(\frac{k}{T}\right)^n\varphi(T) \]线性筛+数论分块即可。对于 \(k\le10^{9}\) 杜教筛即可。
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