[AcWing 891] Nim游戏

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    while (n --) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    if (res)    puts("Yes");
    else    puts("No");
    return 0;
}

1. 先手必胜状态和先手必败状态
   ① 先手必胜状态：可以走到某一个必败状态；
   ② 先手必败状态：走不到任何一个必败状态；
2. 结论：假设 $ n $ 堆石子，石子的数目分别是 $ a_1,a_2,\cdots,a_n $ ，如果 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \neq 0 $ ，则先手必胜，否则，先手必败
   ① $ 0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 = 0 $ ，说明没有石子可拿；
   ② 如果 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $ ，那么玩家必然可以通过拿走某一堆里面的若干个石子，使得异或值变为 $ 0 $
   证明：不妨设 $ x $ 的二进制表示中，最高位 $ 1 $ 在 $ x $ 的第 $ k $ 位，那么必然存在一个 $ a_i $ ，$ a_i $ 的第 $ k $ 位为 $ 1 $ （反证法：如果 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 的第 \(k\) 位都为 \(0\)，则 \(x\) 的第 \(k\) 位也必然为 \(0\)，与最高位 $ 1 $ 在 $ x $ 的第 $ k $ 位矛盾），$ a_i \oplus x < a_i $，那么从第 \(i\) 堆石子中拿走 $ (a_i - a_i \oplus x) $ 个石子，第 \(i\) 堆石子还剩 $a_i - (a_i - a_i \oplus x) = a_i \oplus x $ ，此时 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \oplus x = 0 $
   ③ 如果 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $，那么无论玩家怎么拿，最终的异或值都不为 $ 0 $
   反证法：假设玩家从第 \(i\) 堆石子拿走若干个，异或值为 $ 0 $，不妨设第 $ i $ 堆还剩下 $ a_i^{'} $ 个，$ 0 \leqslant a_i^{'} < a_i $ ，$ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots a_i^{'} \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $，那么 $ (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i \oplus \cdots \oplus a_n) \oplus (a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i^{'} \oplus \cdots \oplus a_n) = 0 \oplus (a_i \oplus a_i^{'}) = 0 $，推出 $ a_{i} \oplus a_{i}^{'} = 0 \rightarrow a_{i} = a_i^{'} $，与 $ a_i^{'} < a_i $ 矛盾，证明完毕
   ④ 基于上述结论，当先手遇到的是 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $，必然可以通过拿走某一堆里面的若干个石子，使得异或值变为 $ 0 $，而后手无论怎么拿，最终的异或值都不为 $ 0 $，不断重复这个过程，后手必然会遇到 $ 0 \oplus 0 \oplus \cdots \oplus 0 = 0 $ 这一失败的局面，而当先手遇到的是 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $ 的局面时，都会给后手创造 $ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $ 的局面，先手必败

标签：891,Nim,必败,石子,异或,cdots,oplus,neq,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/wKingYu/p/16273836.html